Doorsneden van open verzamelingen in een quotiënttopologie

In een quotiënttopologie geldt een fundamenteel principe: het inverse beeld van een eindige doorsnede van open verzamelingen $ U_i $ valt samen met de doorsnede van hun inverse beelden. Deze inverse beelden zijn open in de oorspronkelijke topologische ruimte $ X $ : $$ p^{-1}\left( \bigcap U_i \right) = \bigcap p^{-1}(U_i) $$ Hieruit volgt direct dat een eindige doorsnede van open verzamelingen opnieuw open is in de quotiënttopologie.

Concreet voorbeeld

Om dit principe beter te begrijpen, bekijken we de bekende quotiëntruimte $ A = \mathbb{R}/\mathbb{Z} $. Deze ruimte kun je intuïtief zien als een cirkel.

We vertrekken vanuit de reële lijn $ \mathbb{R} $, voorzien van zijn gebruikelijke topologie. De quotiëntafbeelding $ p : \mathbb{R} \to \mathbb{R}/\mathbb{Z} $ stuurt elk reëel getal naar zijn fractionele deel.

Daardoor kunnen we de quotiëntruimte identificeren met het halfopen interval [0,1), waarbij de punten 0 en 1 als hetzelfde punt worden beschouwd.

Bijvoorbeeld: de getallen 0{,}3, 1{,}3 en 2{,}3 worden allemaal afgebeeld op hetzelfde punt 0{,}3 op de cirkel.

grafische voorstelling van de quotiëntruimte R modulo Z als cirkel

Neem nu twee open verzamelingen in de quotiëntruimte $ A $ :

$$ U_1 = (0{,}1, 0{,}5) $$

$$ U_2 = (0{,}3, 0{,}7) $$

Beide zijn open verzamelingen in $ \mathbb{R}/\mathbb{Z} $.

Hun doorsnede is:

$$ U_1 \cap U_2 = (0{,}3, 0{,}5) $$

Dit is opnieuw een open interval, en dus een open verzameling in de quotiëntruimte.

Laten we nu kijken naar wat er gebeurt in de oorspronkelijke ruimte $ \mathbb{R} $. De inverse beelden van deze verzamelingen bestaan uit een oneindige verzameling intervallen die zich periodiek herhalen:

$$ p^{-1}(U_1) = \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} (n + 0{,}1,\ n + 0{,}5) $$

$$ p^{-1}(U_2) = \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} (n + 0{,}3,\ n + 0{,}7) $$

Neem je de doorsnede van deze inverse beelden, dan krijg je:

$$ p^{-1}(U_1 \cap U_2) = \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} (n + 0{,}3,\ n + 0{,}5) $$

Dit is opnieuw een verzameling van open intervallen, die samen een open deelverzameling vormen van $ \mathbb{R} $.

Omdat het inverse beeld open is in $ \mathbb{R} $, volgt dat ook de doorsnede $ U_1 \cap U_2 $ open is in de quotiënttopologie.

Dit voorbeeld laat duidelijk zien hoe de structuur van de quotiënttopologie werkt: openheid wordt bepaald via het inverse beeld.

Meer algemeen geldt dit resultaat voor elke eindige collectie van open verzamelingen. Het is een van de basisprincipes die ervoor zorgen dat een quotiënttopologie daadwerkelijk aan de axioma’s van een topologie voldoet.