Unies van open verzamelingen in de quotiënttopologie

Neem een familie van open verzamelingen $ \{U_i\} $ in de quotiënttopologie $ Q $. Dan geldt dat het inverse beeld van hun unie precies de unie is van de afzonderlijke inverse beelden, die elk open zijn in de oorspronkelijke topologische ruimte $ X $ : $$ p^{-1}\left( \bigcup U_i \right) = \bigcup p^{-1}(U_i) $$ Dit betekent dat een unie van open verzamelingen in $ Q $ zelf ook weer open is in de quotiënttopologie.

Een concreet voorbeeld

We bekijken de verzameling van reële getallen $ \mathbb{R} $, met de gebruikelijke topologie. Hierop definiëren we een quotiënttopologie via de afbeelding $ p : \mathbb{R} \to \mathbb{R}/\mathbb{Z} $, die elk getal afbeeldt op zijn equivalentieklasse modulo 1.

Concreet betekent dit dat elk reëel getal wordt herleid tot zijn fractionele deel.

Zo worden de getallen 0{,}3, 1{,}3, 2{,}3, enzovoort allemaal op hetzelfde punt 0{,}3 afgebeeld in de quotiëntruimte.

grafische weergave van ℝ modulo ℤ

De quotiëntruimte $ Q $ kun je je voorstellen als een cirkel. Elk punt op die cirkel komt overeen met een getal in het interval [0,1), dus van 0 inbegrepen tot 1 uitgesloten.

Neem nu twee open verzamelingen in $ Q = \mathbb{R}/\mathbb{Z} $, bijvoorbeeld :

$ U_1 = (0{,}1, 0{,}4) $
$ U_2 = (0{,}6, 0{,}8) $

Je kunt deze verzamelingen zien als open bogen op de cirkel.

Wat gebeurt er als we deze verzamelingen samenvoegen?

Het inverse beeld van $ U_1 $ onder $ p $ bestaat uit alle overeenkomstige intervallen in $ \mathbb{R} $ :
\[ p^{-1}(U_1) = (0{,}1, 0{,}4) \cup (1{,}1, 1{,}4) \cup (2{,}1, 2{,}4) \cup \dots \]
Voor $ U_2 $ geldt op dezelfde manier :
\[ p^{-1}(U_2) = (0{,}6, 0{,}8) \cup (1{,}6, 1{,}8) \cup (2{,}6, 2{,}8) \cup \dots \]

De unie van $ U_1 $ en $ U_2 $ in $ Q $ is :

$$ U_1 \cup U_2 = (0{,}1, 0{,}4) \cup (0{,}6, 0{,}8) $$

Het inverse beeld daarvan is :

$$ p^{-1}(U_1 \cup U_2) = p^{-1}(U_1) \cup p^{-1}(U_2) $$

Dus expliciet :

$$ p^{-1}(U_1 \cup U_2) = (0{,}1, 0{,}4) \cup (0{,}6, 0{,}8) \cup (1{,}1, 1{,}4) \cup (1{,}6, 1{,}8) \cup \dots $$

Dit is opnieuw een unie van open intervallen in $ \mathbb{R} $, en dus een open verzameling in de gebruikelijke topologie.

Daarmee zie je dat ook $ U_1 \cup U_2 $ een open verzameling is in de quotiënttopologie op $ \mathbb{R}/\mathbb{Z} $.

Deze eigenschap geldt in het algemeen: elke unie, eindig of oneindig, van open verzamelingen in $ Q $ is opnieuw open.