Topologie du Complément Fini

La topologie du complément fini est une structure topologique définie sur un ensemble $X$, dans laquelle un sous-ensemble est considéré comme ouvert si son complémentaire est fini.

Autrement dit, un ensemble est ouvert lorsque son complémentaire dans $X$ ne contient qu’un nombre fini d’éléments.

Il en découle immédiatement que tout ensemble fini est fermé, puisqu’un ensemble fermé est, par définition, le complémentaire d’un ouvert.

Par ailleurs, l’ensemble vide et l’ensemble total sont tous deux des ensembles clopen, c’est-à-dire à la fois ouverts et fermés - une propriété universelle dans toute topologie.

Qu’est-ce qu’une structure topologique ? De manière générale, une structure topologique (ou simplement une topologie) sur un ensemble est une famille de sous-ensembles satisfaisant certaines conditions axiomatiques, permettant de formaliser des notions telles que la continuité, les limites ou la proximité, sans recours à une distance ou une métrique.

Il est important de souligner que la topologie du complément fini n’est pas une propriété intrinsèque de l’ensemble, mais plutôt une façon particulière de définir quels sous-ensembles doivent être considérés comme ouverts, en fonction de la cardinalité de leur complémentaire.

Cette topologie est souvent étudiée sur l’ensemble des réels ($\mathbb{R}$), mais elle peut tout aussi bien être définie sur n’importe quel ensemble arbitraire en suivant le même principe.

Dans ce cadre, tout sous-ensemble de $\mathbb{R}$ dont le complémentaire est fini est considéré comme ouvert dans la topologie du complément fini.

Pourquoi est-ce intéressant ? Cette topologie constitue un exemple classique illustrant comment un même ensemble peut être muni de topologies différentes, chacune induisant des propriétés distinctes qui influencent la structure de l’espace.

Exemple concret

Considérons l’ensemble $V$ défini comme l’ensemble des réels privés des éléments 1, 2, 4 et 8 :

$$ V = \mathbb{R} - \{1, 2, 4, 8\} $$

Le complémentaire de $V$ est l’ensemble $ \{1, 2, 4, 8\} $, qui est fini puisqu’il ne contient que quatre éléments.

$$ C_V = \{1,2,4,8\} $$

D’après la définition de la topologie du complément fini, $V$ est donc un ouvert.

Remarque : Un ensemble est ouvert dans cette topologie si, et seulement si, son complémentaire est fini.

Exemple 2

Sur le même principe, tout sous-ensemble de la droite réelle obtenu en retirant un nombre fini de points est ouvert dans cette topologie. Par exemple :

$ \mathbb{R} - \{0\} $ est ouvert car son complémentaire $\{0\}$ est fini.
$ \mathbb{R} - \{-5, \sqrt{2}\} $ est également ouvert, puisque son complémentaire contient seulement deux éléments.
$ \mathbb{R} - \{\pi, e, -1\} $ constitue un autre exemple d’ensemble ouvert dans cette topologie.

Et ainsi de suite.