Ensembles denses en topologie

Dans un espace topologique $ X $, un sous-ensemble $ A $ est dit dense si son adhérence est égale à l’espace tout entier : $$ \text{Cl}(A) = X $$

Autrement dit, un ensemble dense « recouvre » tout l’espace au sens topologique : chaque point de $ X $ appartient à $ A $ ou est un point d’adhérence de $ A $.

L’adhérence d’un ensemble comprend à la fois ses points et tous ses points limites.

Exemples concrets

Exemple 1

Dans la topologie usuelle sur $ \mathbb{R} $, l’ensemble des nombres rationnels $ \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} $ est dense.

En effet, entre deux réels quelconques, il existe toujours un rationnel. Ainsi, tout réel peut être approché arbitrairement près par des éléments de $ \mathbb{Q} $.

L’adhérence de $ \mathbb{Q} $ est donc toute la droite réelle :

$$ \text{Cl}(\mathbb{Q}) = \mathbb{R} $$

On en déduit que $ \mathbb{Q} $ est dense dans $ \mathbb{R} $.

Remarque. De manière similaire, dans la topologie usuelle sur $ \mathbb{R} $, l’ensemble des irrationnels $ \mathbb{I} \subset \mathbb{R} $ est également dense. Tout réel pouvant être approché par des irrationnels, on a également : $$ \text{Cl}(\mathbb{I}) = \mathbb{R} $$

Exemple 2

Dans la topologie du complémentaire fini sur $ \mathbb{R} $, l’ensemble $ \mathbb{R} \setminus \{0\} $ est lui aussi dense.

Dans cette topologie, un ensemble est ouvert si son complémentaire est fini.

Comme le complémentaire de $ \mathbb{R} \setminus \{0\} $ est l’ensemble fini $ \{0\} $, l’ensemble $ \mathbb{R} \setminus \{0\} $ est ouvert.

Pour déterminer son adhérence, on examine les points limites de l’ensemble.

En ajoutant le point 0, on retrouve l’espace tout entier. Or, il n’existe aucun fermé strictement inclus dans $ \mathbb{R} $ qui contienne $ \mathbb{R} \setminus \{0\} $. On en conclut donc que :

$$ \text{Cl}(\mathbb{R} \setminus \{0\}) = \mathbb{R} $$

Cet ensemble est donc dense dans $ \mathbb{R} $.

Remarque. Cet exemple illustre une propriété caractéristique de la topologie du complémentaire fini : tout sous-ensemble infini y est nécessairement dense. En effet, les seuls fermés non triviaux sont les ensembles finis et $ \mathbb{R} $ lui-même. Ainsi, l’adhérence de tout ensemble infini est l’espace tout entier.

Exemple 3

Dans la topologie usuelle sur $ \mathbb{R} $, l’intervalle ouvert $ (0,1) $ n’est pas dense.

Son adhérence est l’intervalle fermé $ [0,1] $, puisque les extrémités 0 et 1 en sont des points d’adhérence :

$$ \text{Cl}((0,1)) = [0,1] $$

Comme cette adhérence ne coïncide pas avec $ \mathbb{R} $, l’ensemble $ (0,1) $ n’est pas dense dans $ \mathbb{R} $.

Remarque. En revanche, si l’on considère $ (0,1) $ comme un sous-ensemble de $ [0,1] $, muni de la topologie induite, il devient dense dans ce sous-espace : son adhérence y est en effet $ [0,1] $. Cet exemple illustre clairement que la notion de densité dépend de l’espace ambiant : $ (0,1) $ n’est pas dense dans $ \mathbb{R} $, mais l’est dans $ [0,1] $.

Et ainsi de suite.