Plongements en topologie
En topologie, un plongement est une application continue et injective \( f: X \rightarrow Y \) entre deux espaces topologiques \( X \) et \( Y \), telle que \( f \) induise un homéomorphisme entre \( X \) et son image \( f(X) \), cette dernière étant munie de la topologie induite par \( Y \).
Autrement dit, une application est un plongement si elle vérifie les trois conditions suivantes :
- \( f \) est continue ;
- \( f \) est injective, c’est-à-dire qu’elle envoie des points distincts de \( X \) sur des points distincts de \( Y \) ;
- l’application réciproque \( f^{-1} \), définie sur \( f(X) \), est continue pour la topologie induite sur \( f(X) \).
En d’autres termes, un plongement préserve la structure topologique de \( X \) au sein de son image \( f(X) \), ce qui permet d’identifier \( f(X) \) à un sous-espace topologique de \( Y \), autrement dit \( f(X) \subset Y \).
Un exemple concret
Considérons deux espaces topologiques :
- Espace \( X \)
L’ensemble \( X = \{a, b, c\} \), muni de la topologie \( \mathcal{T}_X = \{\emptyset, \{a\}, \{a, b\}, X\} \), qui définit les ouverts de \( X \). - Espace \( Y \)
L’ensemble \( Y = \{1, 2, 3, 4\} \), muni de la topologie \( \mathcal{T}_Y = \{\emptyset, \{1\}, \{1, 2\}, \{1, 2, 3\}, Y\} \), qui définit les ouverts de \( Y \).
Définissons maintenant une application \( f: X \rightarrow Y \) par :
$$ f(a) = 1 \\ f(b) = 2 \\ f(c) = 3 $$
Voyons si cette application \( f \) satisfait les conditions pour être un plongement.
1] Continuité de \( f \)
Une application \( f: X \rightarrow Y \) est continue (voir la définition via les ouverts) si l’image réciproque de tout ouvert de \( Y \) est un ouvert dans \( X \), c’est-à-dire appartient à \( \mathcal{T}_X \).
- \( f^{-1}(\emptyset) = \emptyset \in \mathcal{T}_X \), donc ouvert dans \( X \) ;
- \( f^{-1}(\{1\}) = \{a\} \in \mathcal{T}_X \), donc ouvert dans \( X \) ;
- \( f^{-1}(\{1, 2\}) = \{a, b\} \in \mathcal{T}_X \), donc ouvert dans \( X \) ;
- \( f^{-1}(\{1, 2, 3\}) = X \in \mathcal{T}_X \), donc ouvert dans \( X \) ;
- \( f^{-1}(Y) = X \in \mathcal{T}_X \), donc ouvert dans \( X \).
Puisque toutes les préimages des ouverts de \( Y \) sont des ouverts dans \( X \), on en déduit que \( f \) est continue.
2] Injectivité
L’application \( f \) est manifestement injective, car elle associe à chaque élément distinct de \( X \) une image distincte dans \( Y \) :
$$ f(a) = 1 \\ f(b) = 2 \\ f(c) = 3 $$
3] Continuité de l’inverse
Considérons maintenant l’image de \( f \), à savoir \( f(X) = \{1, 2, 3\} \subset Y \).
La topologie induite sur \( f(X) \) est donnée par \( \mathcal{T}_{f(X)} = \{\emptyset, \{1\}, \{1, 2\}, \{1, 2, 3\}\} \).
Remarque. La topologie induite sur une partie d’un espace topologique se construit en prenant l’intersection des ouverts de l’espace avec cette partie. Dans notre cas :
- L’espace \( Y = \{1, 2, 3, 4\} \) est muni de la topologie \( \mathcal{T}_Y = \{\emptyset, \{1\}, \{1, 2\}, \{1, 2, 3\}, \{1, 2, 3, 4\}\} \).
- L’image de \( f \) est \( f(X) = \{1, 2, 3\} \subset Y \).
Les intersections correspondantes sont :
- \( \emptyset \cap \{1, 2, 3\} = \emptyset \)
- \( \{1\} \cap \{1, 2, 3\} = \{1\} \)
- \( \{1, 2\} \cap \{1, 2, 3\} = \{1, 2\} \)
- \( \{1, 2, 3\} \cap \{1, 2, 3\} = \{1, 2, 3\} \)
- \( \{1, 2, 3, 4\} \cap \{1, 2, 3\} = \{1, 2, 3\} \)
On obtient donc la topologie induite suivante : $$ \mathcal{T}_{f(X)} = \{\emptyset, \{1\}, \{1, 2\}, \{1, 2, 3\} \} $$
Pour montrer que l’inverse \( f^{-1}: f(X) \rightarrow X \) est continue, il suffit de vérifier que l’image réciproque de tout ouvert de \( \mathcal{T}_X \) est un ouvert dans \( \mathcal{T}_{f(X)} \) :
- \( \emptyset \in \mathcal{T}_X \) et sa préimage est \( \emptyset \), ouvert dans \( \mathcal{T}_{f(X)} \) ;
- \( \{a\} \in \mathcal{T}_X \) et sa préimage est \( \{1\} \), ouvert dans \( \mathcal{T}_{f(X)} \) ;
- \( \{a, b\} \in \mathcal{T}_X \) et sa préimage est \( \{1, 2\} \), ouvert dans \( \mathcal{T}_{f(X)} \) ;
- \( X \in \mathcal{T}_X \) et sa préimage est \( \{1, 2, 3\} \), ouvert dans \( \mathcal{T}_{f(X)} \).
Ainsi, l’application réciproque \( f^{-1} \), restreinte à son image, est continue.
En conclusion, l’application \( f \) est un plongement de \( X \) dans \( f(X) \), car elle est continue, injective et sa réciproque (définie sur l’image) est elle aussi continue.
Bien que l’image de \( X \) par \( f \), à savoir \( \{1, 2, 3\} \), ne recouvre pas tout l’espace \( Y \), elle en hérite néanmoins d’une structure topologique compatible avec celle de \( X \).
Différences entre un plongement et un homéomorphisme
La distinction entre un plongement et un homéomorphisme réside dans le domaine, l’image et la portée de la préservation de la structure topologique.
- Homéomorphisme
Un homéomorphisme est une bijection continue dont la réciproque est également continue, établissant une équivalence topologique complète entre \( X \) et \( Y \). - Plongement
Un plongement est une application qui insère \( X \) dans \( Y \) de sorte que la structure topologique de \( X \) soit conservée au sein de son image \( f(X) \), laquelle forme un sous-espace de \( Y \).
En résumé, un homéomorphisme met en correspondance deux espaces topologiques dans leur ensemble, tandis qu’un plongement assure la préservation de la topologie de \( X \) dans une portion de \( Y \), à savoir son image.
Et ainsi de suite...
