Topologie de la borne inférieure
Dans la topologie de la borne inférieure, un ensemble ouvert est défini comme toute réunion d’intervalles semi-ouverts de la forme [a, b), où a < b.
En d’autres termes, un intervalle est ouvert dans cette topologie s’il inclut son extrémité inférieure mais exclut la supérieure.
La base de cette topologie est constituée des ensembles suivants :
$$ B = \{ [a,b) \subset \mathbb{R} \mid a \lt b \} $$
Chaque élément de cette base est un intervalle qui comprend son extrémité gauche mais exclut la droite.
Remarque : Cette topologie constitue une alternative à la topologie usuelle sur les nombres réels (\(\mathbb{R}\)), dans laquelle les intervalles ouverts sont de la forme (a, b) et excluent les deux extrémités.
La topologie de la borne inférieure est un exemple classique présenté dans les cours de topologie, car elle illustre parfaitement comment le choix d’une topologie peut influencer la notion d’ensemble ouvert.
Dans cette structure, les intervalles [a, b), qui incluent l’extrémité gauche mais non la droite, sont considérés comme ouverts.
Un exemple concret
Un cas concret de la topologie de la borne inférieure est obtenu en considérant l’ensemble des nombres réels \(\mathbb{R}\), muni de la collection des intervalles semi-ouverts [a, b) comme ensembles ouverts.
Par exemple, des ensembles tels que [0, 2), [1, 4) ou encore [-4, 2), parmi d’autres.
L’ensemble de tous ces intervalles semi-ouverts à gauche forme la base de la topologie de la borne inférieure.
Et ainsi de suite.
