Topologie du point particulier

La topologie du point particulier sur un ensemble $ X $, muni d’un point désigné $ p $, est définie comme l’ensemble de tous les sous-ensembles de $ X $ qui sont soit vides, soit contiennent le point $ p $.

Autrement dit, cette topologie comprend l’ensemble vide, l’ensemble total $ X $, ainsi que tous les sous-ensembles de $ X $ contenant $ p $.

On la trouve également sous l’appellation « topologie du point fixe ».

Remarque. Pour qu’une telle famille constitue une topologie, elle doit satisfaire les axiomes fondamentaux : contenir l’ensemble vide et l’ensemble total, être stable par unions arbitraires et par intersections finies.

Exemple

Soit $ X = \{a, b, c\} $, et prenons $ a $ comme point désigné. La topologie du point particulier associée à $ a $ doit alors inclure :

L’ensemble vide : $ \emptyset $
L’ensemble total : $ X = \{a, b, c\} $
Tous les sous-ensembles contenant $ a $ : $ \{a\}, \{a, b\}, \{a, c\} $

La topologie ainsi définie est donc :

$$ T = \{ \emptyset, \{a\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{a, b, c\} \} $$

On peut vérifier que cette famille satisfait bien les propriétés requises d’une topologie :

Elle contient l’ensemble vide et l’ensemble total.
Elle est stable par unions arbitraires : toute union d’ensembles contenant $ a $ (à l’exception éventuelle de l’ensemble vide) contient encore $ a $, et appartient donc à $ T $.
Elle est stable par intersections finies : l’intersection d’un nombre fini d’ensembles de $ T $, à moins qu’elle soit vide, contient toujours $ a $, et reste donc dans $ T $.

On en conclut que cette construction définit rigoureusement une topologie sur $ X $.