Espace topologique

Un espace topologique est un ensemble doté d'une structure appelée « topologie ». Cette dernière offre un cadre pour aborder des notions telles que la continuité, la proximité et les limites de manière globale.

Cet ensemble peut comprendre divers objets mathématiques tels que des points, des nombres ou des fonctions.

C'est une notion centrale en topologie, une branche essentielle des mathématiques.

Voici les principaux éléments constitutifs d'un espace topologique :

• Ensemble
  Tout commence avec un ensemble de base, qui peut regrouper divers objets, allant des points et des lignes jusqu'aux formes et aux fonctions.
• Topologie
  La topologie se compose de « sous-ensembles ouverts » de l'ensemble de base, qui doivent respecter trois critères :
  - L'ensemble complet ainsi que l'ensemble vide sont considérés comme ouverts.
  - L'union de plusieurs sous-ensembles ouverts forme un sous-ensemble ouvert.
  - L'intersection d'un nombre fini de sous-ensembles ouverts forme également un sous-ensemble ouvert.

Ces critères permettent de déterminer quelles collections de points sont considérées comme proches ou connectées.

Note. L'intérêt de la topologie réside dans sa capacité à formuler des concepts tels que la continuité de manière extrêmement abstraite et flexible, permettant d'étudier les propriétés de l'espace, des plus élémentaires, comme la forme et la taille, aux plus complexes, comme la déformabilité et la connectivité.

Dans un espace topologique, on peut définir divers concepts, notamment la continuité des fonctions, les limites des suites, la connectivité et la compacité, pour n'en nommer que quelques-uns.

Ces notions ne dépendent pas de mesures ou de distances spécifiques mais plutôt de la structure de la topologie elle-même.

Les espaces topologiques peuvent aller de structures simples, comme une ligne ou un plan avec des topologies standards, à des structures extrêmement complexes et abstraites.

Exemple pratique

Un exemple simple et courant d'espace topologique est la ligne des nombres réels \( \mathbb{R} \) avec sa topologie usuelle.

Dans ce contexte, l'espace topologique est constitué de l'ensemble des nombres réels associé à un ensemble spécifique de sous-ensembles désignés comme « ouverts », essentiels pour définir la topologie de l'espace.

Selon la topologie standard de la ligne des nombres réels, un sous-ensemble \( U \) de \( \mathbb{R} \) est considéré comme ouvert si, pour tout point \( x \) de \( U \), il existe un intervalle autour de \( x \) (aussi petit soit-il) qui est entièrement inclus dans \( U \).

En d'autres termes, cela signifie que chaque point d'un ensemble ouvert est entouré par une infinité d'autres points, garantissant ainsi l'absence d'interruptions ou de discontinuités.

Voici quelques exemples d'ensembles ouverts sur la ligne des nombres réels selon la topologie habituelle :

1. L'intervalle \( (a, b) \), où \( a < b \). Cet intervalle inclut tous les nombres réels de \( a \) à \( b \), mais exclut les points \( a \) et \( b \) eux-mêmes.
2. L'union d'intervalles ouverts, telle que \( (a, b) \cup (c, d) \), où \( a < b \) et \( c < d \). Conformément aux règles de la topologie standard, cela constitue également un ensemble ouvert.
3. L'ensemble vide et l'ensemble complet \( \ mathbb{R} \) sont toujours considérés comme ouverts.

Dans cet espace, il est possible d'approfondir des concepts tels que la continuité des fonctions.

Par exemple, une fonction \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) est continue si la pré-image de chaque ensemble ouvert est également un ensemble ouvert dans \( \mathbb{R} \). Cela illustre comment la topologie fournit un cadre pour généraliser et approfondir notre compréhension de notions mathématiques fondamentales telles que la continuité.

Et ainsi de suite.