Topologie de la Borne Supérieure
La topologie de la borne supérieure est définie comme l’ensemble des réunions arbitraires d’intervalles semi-ouverts à droite de la forme \( (a, b] \), avec \( a \lt b \).
Autrement dit, un intervalle est considéré comme ouvert dans cette topologie s’il contient sa borne supérieure mais exclut sa borne inférieure.
De façon formelle, la base de cette topologie s’écrit :
$$ B = \{ (a,b] \subset \mathbb{R} \ | \ a \lt b \} $$
Cette construction implique que, dans cette topologie, tout ouvert est constitué d’intervalles qui incluent systématiquement leur extrémité supérieure.
Remarque : Il est instructif de comparer cette topologie à celle dite de la borne inférieure, dans laquelle les ensembles ouverts sont de la forme \([a, b)\), c’est-à-dire qu’ils incluent la borne inférieure mais excluent la supérieure. Cette dualité illustre clairement comment le choix de la structure topologique influe sur la notion même d’ouverture.
La topologie de la borne supérieure constitue un exemple fondamental en topologie générale, car elle montre comment une légère modification dans la définition des ouverts peut conduire à des comportements et des propriétés radicalement différents.
Un exemple concret
Considérons l’ensemble des réels \(\mathbb{R}\) muni de la topologie engendrée par les intervalles semi-ouverts à droite.
Des exemples typiques d’ouverts dans cette topologie sont \( (1,3] \), \( (2,6] \), ou encore \( (-3,5] \).
L’ensemble de ces intervalles constitue une base pour la topologie de la borne supérieure.
Dans chacun de ces cas, la borne supérieure appartient à l’intervalle, tandis que la borne inférieure n’en fait pas partie.
Cette topologie trouve des applications dans divers contextes théoriques, notamment lorsqu’on souhaite étudier des notions de convergence ou de continuité qui diffèrent de celles induites par la topologie usuelle sur \(\mathbb{R}\).
