Topologie Triviale

La topologie triviale (ou minimale) sur un ensemble $ X $ est définie uniquement par deux ensembles : l’ensemble vide et l’ensemble $ X $ lui-même. $$ T = \{ \emptyset , X \} $$

On la qualifie de « triviale » car elle constitue la manière la plus simple de munir un ensemble d’une structure topologique.

En effet, la topologie triviale ne contient que l’ensemble vide Ø et l’ensemble $ X $, autrement dit, les sous-ensembles impropres de $ X $.

Notions Fondamentales

Lorsqu’on dote un ensemble non vide $ X $ de la topologie triviale $ T $, on lui attribue une structure topologique extrêmement élémentaire.

$$ (X, T) $$

Dans ce contexte, la topologie $ T $ se compose uniquement de deux ensembles : l’ensemble vide et l’ensemble $ X $ lui-même.

$$ T = \{ \emptyset , X \} $$

Le choix de ces ensembles est fondamental, car il permet de satisfaire les propriétés topologiques de base.

Pour que $ T $ constitue effectivement une topologie sur $ X $, trois conditions essentielles doivent être remplies :

L’ensemble vide Ø et l’ensemble total $ X $ doivent appartenir à $ T $.
L’union de n’importe quelle famille d’ensembles ouverts de $ T $ doit être un ensemble ouvert appartenant à $ T $.
L’intersection de deux ensembles ouverts de $ T $ doit également appartenir à $ T $.

Dans le cas où $ T = \{ \emptyset, X \} $, ces conditions sont automatiquement satisfaites.

Démonstration. Par définition, l’ensemble vide et $ X $ appartiennent déjà à $ T $.

De plus, l’ensemble vide est toujours considéré comme ouvert dans toute topologie, tandis que $ X $ est ouvert par construction.

D’autre part, comme $ T $ ne contient aucun autre ensemble, toute union ou intersection d’éléments de $ T $ ne peut donner que l’un ou l’autre de ces deux ensembles, ce qui garantit le respect des règles topologiques.

Par conséquent, toutes les conditions topologiques se trouvent vérifiées.

Pourquoi parle-t-on de Topologie Minimale ?

On parle de topologie minimale à propos de la topologie triviale, car elle constitue la structure topologique la plus dépouillée qu’on puisse définir sur un ensemble $ X $.

Une topologie est dite minimale dès lors que la suppression d’un seul de ses éléments suffit à ce qu’elle ne soit plus une topologie.

Ce principe découle d’un fait fondamental : toute topologie sur $ X $ doit contenir, au minimum, l’ensemble vide Ø et l’ensemble $ X $ lui-même.

Or, la topologie triviale $ T = \{ \emptyset, X \} $ ne comprend justement que ces deux ensembles. Il est donc impossible d’en retirer un sans faire perdre à $ T $ sa nature de topologie.

Si l’on supprimait l’ensemble vide Ø ou l’ensemble $ X $ de $ T $, l’ensemble restant ne satisferait plus les conditions minimales requises pour former une topologie.

C’est pourquoi la topologie triviale $ T = \{ \emptyset, X \} $ représente la structure topologique la plus simple et la plus restreinte qu’on puisse établir sur $ X $.

Remarque. Malgré sa simplicité et son élégance, la topologie triviale présente peu d’intérêt pratique, car elle manque de richesse structurelle et ne fournit aucune information significative sur la nature de l’ensemble $ X $. Elle joue toutefois un rôle fondamental sur le plan théorique, en incarnant le cas limite de complexité minimale dans l’ensemble des topologies possibles. À l’opposé, on trouve la topologie discrète, dans laquelle tous les sous-ensembles de $ X $ sont ouverts.

Et ainsi de suite