Exemple de topologie

Je souhaite déterminer toutes les topologies possibles sur l’ensemble $X$.

$$ X = \{ a,b \} $$

Pour cela, il convient d’examiner toutes les familles de sous-ensembles de $X$ qui satisfont la définition formelle d’une topologie.

Définition d’une topologie. Une topologie sur un ensemble $X$ est une famille $T$ de sous-ensembles de $X$ qui vérifie les trois conditions suivantes :

Elle contient l’ensemble vide $∅$ et l’ensemble tout entier $X$.
Elle est stable par unions arbitraires (de tout nombre, fini ou infini) d’éléments de $T$.
Elle est stable par intersections finies d’éléments de $T$.

Dans le cas de l’ensemble $ X = \{a,b\} $, l’ensemble de ses parties (ou ensemble puissance) est :

$$ P(X) = \{ ∅, \{ a \}, \{ b \}, X \} $$

Comme toute topologie sur $X$ doit impérativement contenir $∅$ et $X$, ces deux ensembles figureront dans toutes les topologies admissibles.

Voici à présent la liste exhaustive des familles de sous-ensembles qui satisfont les conditions requises pour constituer une topologie :

La topologie triviale (ou minimale), qui ne contient que les ensembles indispensables : $$ T_1 = \{ ∅, \{a,b\} \} $$
La topologie qui contient, en plus, le singleton $\{a\}$ : $$ T_2 = \{ ∅, \{a\}, \{a,b\} \} $$
La topologie qui contient, en plus, le singleton $\{b\}$ : $$ T_3 = \{ ∅, \{b\}, \{a,b\} \} $$
La topologie discrète (ou maximale), qui contient tous les sous-ensembles de $X$ : $$ T_4 = \{ ∅, \{a\}, \{b\}, \{a,b\} \} $$

Ce sont là toutes les topologies possibles sur l’ensemble $X$.

La topologie triviale est la plus pauvre en structure : elle ne permet de distinguer que l’ensemble vide et l’ensemble total. À l’inverse, la topologie discrète est la plus fine, car elle considère tous les sous-ensembles comme ouverts.

En définitive, l’ensemble $ X = \{a,b\} $ admet exactement quatre topologies distinctes.

Exemple 2

Examinons maintenant un cas légèrement plus complexe, celui d’un ensemble à trois éléments :

$$ X = \{ a,b,c \} $$

Nous souhaitons vérifier si la famille suivante définit une topologie sur $X$ :

$$ T_3 = \{ ∅, \{ a \}, \{ b \}, \{b,c\}, \{a,b,c\} \} $$

Commençons par vérifier que $ T_3 $ contient bien à la fois l’ensemble vide et l’ensemble total $X = \{a,b,c\}$.

Ces deux ensembles y figurent, la première condition est donc respectée.

Vérifions maintenant la stabilité par union arbitraire.

On constate que l’union $ \{a\} \cup \{b\} = \{a,b\} $ n’appartient pas à $T_3$, ce qui contredit la définition d’une topologie.

$$ \{a\} \cup \{b\} = \{a,b\} \notin T $$

Ce contre-exemple suffit à conclure que $T_3$ ne définit pas une topologie sur $X$.

Étant donné que l’une des conditions essentielles n’est pas satisfaite, il n’est pas nécessaire d’examiner la stabilité par intersection.

Et ainsi de suite.