Topologie du point exclu
La topologie du point exclu sur un ensemble \(X\) est une structure topologique \(T\) définie en excluant un point particulier \(p\) de \(X\).
Les ensembles qui composent cette topologie sont les suivants :
- L’ensemble vide (\(Ø\))
- L’ensemble total \(X\)
- Tous les sous-ensembles de \(X\) ne contenant pas le point \(p\)
Autrement dit, un sous-ensemble de \(X\) est ouvert dans la topologie du point exclu si, et seulement si, c’est soit l’ensemble vide, soit l’ensemble total, soit un sous-ensemble ne contenant pas \(p\).
Cette construction définit bien une topologie, car elle satisfait les trois axiomes fondamentaux d’une structure topologique.
Remarque : Ce qui rend cette topologie intéressante, c’est qu’elle repose sur l’exclusion d’un point donné, ce qui engendre des comportements parfois inhabituels du point de vue topologique.
Exemple concret
Considérons l’ensemble \(X\) formé de trois éléments :
$$ X = \{a, b, c\} $$
Choisissons \(p = a\) comme point exclu.
La topologie du point exclu sur \(X\) est alors constituée des ensembles suivants :
- L’ensemble vide : \(Ø\)
- L’ensemble total : \(X = \{a, b, c\}\)
- Les sous-ensembles ne contenant pas \(a\) : \(\{b\}, \{c\}, \{b, c\}\)
On obtient ainsi la topologie suivante :
$$ T = \{\emptyset, \{a, b, c\}, \{b\}, \{c\}, \{b, c\}\} $$
Vérifions que \(T\) satisfait bien les axiomes d’une topologie :
- Stabilité par unions arbitraires :
Par exemple, \(\{b\} \cup \{c\} = \{b, c\}\), et \(\{b\} \cup \emptyset = \{b\}\) : ces deux ensembles appartiennent à \(T\).
- Stabilité par intersections finies :
Par exemple, \(\{b\} \cap \{c\} = \emptyset\), et \(\{b, c\} \cap \{b\} = \{b\}\) : ces deux ensembles sont également dans \(T\).
- Présence de l’ensemble vide et de l’ensemble total : \(\emptyset\) et \(X\) appartiennent bien à la topologie.
Cet exemple montre comment l’exclusion d’un seul point (ici, \(a\)) permet de définir une topologie qui impose une contrainte spécifique sur les ensembles ouverts de \(X\).
