Différence entre une topologie plus fine et une plus grossière

Les expressions « topologie plus fine » et « topologie plus grossière » sont utilisées pour comparer plusieurs topologies définies sur un même ensemble $ X $.

Topologie plus fine
Une topologie $ \tau $ sur $ X $ est dite plus fine qu’une autre si elle contient un plus grand nombre d’ensembles ouverts.
Topologie plus grossière
À l’inverse, une topologie est plus grossière si elle comprend moins d’ouverts que l’autre. Elle est, en quelque sorte, plus « rigide » ou moins détaillée.

Un exemple illustratif
Lien avec la continuité

Un exemple illustratif

Considérons l’ensemble $ X = \{a, b\} $ et définissons deux topologies différentes sur celui-ci :

La première topologie, $ \tau_1 $, est $ \{\varnothing, \{a, b\}\} $, c’est-à-dire la topologie triviale. Les seuls ouverts sont alors l’ensemble vide et l’ensemble total.
La seconde topologie, $ \tau_2 $, est $ \{\varnothing, \{a\}, \{a, b\}\} $.

On observe que $ \tau_2 $ est plus fine que $ \tau_1 $, car elle contient l’ouvert $ \{a\} $, qui ne figure pas dans $ \tau_1 $.

Inversement, $ \tau_1 $ est plus grossière que $ \tau_2 $, puisqu’elle comporte moins d’ensembles ouverts.

Lien avec la continuité

Si une fonction est continue relativement à une topologie plus grossière, elle le sera également pour toute topologie plus fine. En revanche, la réciproque n’est pas toujours vraie.

Pour établir la continuité d’une fonction, on vérifie que l’image réciproque de tout ouvert de l’ensemble d’arrivée est un ouvert dans le domaine de départ.

Plus la topologie est fine, plus il y a d’ouverts à considérer, ce qui rend cette vérification plus contraignante.

À l’inverse, dans une topologie plus grossière, la condition de continuité est plus facile à satisfaire car les ensembles ouverts sont moins nombreux.

Autrement dit, si une fonction est continue pour une topologie plus grossière, elle le restera pour toute topologie plus fine, puisque les conditions sont déjà remplies pour un ensemble plus restreint d’ouverts.

La réciproque n’est pas garantie. Une fonction continue pour une topologie plus fine peut ne pas l’être pour une topologie plus grossière, car cette dernière possède moins d’ouverts et la condition de continuité peut ne pas être respectée pour certaines préimages.

Exemple

Reprenons l’ensemble $ X = \{a, b\} $ muni de deux topologies différentes.

Topologie plus grossière : $ \tau_1 = \{\varnothing, \{a, b\}\} $, où seuls l’ensemble vide et l’ensemble total $ X $ sont ouverts.
Topologie plus fine : $ \tau_2 = \{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}\} $, qui inclut également les singletons $ \{a\} $ et $ \{b\} $.

Considérons maintenant une fonction $ f $ de $ X $ vers un ensemble arbitraire $ Y $.

$$ f: X \to Y $$

On définit $ f $ comme suit :

$$ f(a)=1 $$

$$ f(b)=1 $$

Cette fonction associe la même valeur aux deux éléments de $ X $, c’est donc une fonction constante.

Vérifions sa continuité dans la topologie plus fine $ \tau_2 $.

La préimage $ f^{-1}(\{1\}) = \{a, b\} $ est un ouvert dans $ \tau_2 $, donc la condition de continuité est remplie.
La préimage de l’ensemble vide, $ f^{-1}(\varnothing) = \varnothing $, est ouverte par définition dans toute topologie.

Ainsi, $ f $ est continue dans la topologie plus fine $ \tau_2 $.

Étant donné que $ f $ est continue dans $ \tau_2 $, elle l’est également dans $ \tau_1 $, où il y a encore moins d’ouverts à considérer.

En effet, dans $ \tau_1 $, les seuls ouverts sont :

La préimage $ f^{-1}(\{1\}) = \{a, b\} $, qui est un ouvert dans $ \tau_1 $.
La préimage $ f^{-1}(\varnothing) = \varnothing $, qui l’est aussi.

On en conclut donc que $ f $ est continue dans la topologie plus grossière $ \tau_1 $.

Exemple 2

Reprenons une fois encore l’ensemble $ X = \{a, b\} $, muni des mêmes topologies $ \tau_1 $ et $ \tau_2 $.

Topologie plus grossière : $ \tau_1 = \{\varnothing, \{a, b\}\} $.
Topologie plus fine : $ \tau_2 = \{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}\} $.

Définissons une nouvelle fonction $ g : X \to Y $ comme suit :

$$ g(a) = 1 $$

$$ g(b) = 2 $$

Examinons sa continuité dans la topologie plus fine $ \tau_2 $.

La préimage $ g^{-1}(\varnothing) = \varnothing $ est un ouvert dans $ \tau_2 $.
La préimage $ g^{-1}(\{1,2\}) = \{a, b\} $ est un ouvert dans $ \tau_2 $.
La préimage $ g^{-1}(\{1\}) = \{a\} $ est un ouvert dans $ \tau_2 $.
La préimage $ g^{-1}(\{2\}) = \{b\} $ est un ouvert dans $ \tau_2 $.

Comme toutes les préimages d’ouverts de $ Y $ sont ouvertes dans $ X $, $ g $ est continue dans la topologie plus fine $ \tau_2 $.

Vérifions maintenant sa continuité dans $ \tau_1 $ :

La préimage $ g^{-1}(\varnothing) = \varnothing $ est un ouvert dans $ \tau_1 $.
La préimage $ g^{-1}(\{1,2\}) = \{a, b\} $ est également un ouvert dans $ \tau_1 $.
En revanche, la préimage $ g^{-1}(\{1\}) = \{a\} $ n’est pas un ouvert dans $ \tau_1 $, car cette topologie ne contient que $ \varnothing $ et $ \{a, b\} $ comme ouverts.

Nous en déduisons que $ g $ n’est pas continue dans la topologie plus grossière $ \tau_1 $.

En conclusion, la fonction $ g $ est continue dans la topologie plus fine $ \tau_2 $, mais elle ne l’est pas dans la topologie plus grossière $ \tau_1 $.