Topologie des rectangles ouverts

La topologie des rectangles ouverts constitue une structure fondamentale du plan $ \mathbb{R}^2 $, dans laquelle les ensembles ouverts sont définis comme des unions quelconques de rectangles ouverts. Chaque rectangle est construit comme un produit cartésien de deux intervalles ouverts, respectivement sur les axes $x$ et $y$, offrant ainsi un cadre naturel pour l’étude des propriétés topologiques en deux dimensions.

Cette topologie est engendrée par une base composée exclusivement de voisinages rectangulaires ouverts, qui forment les briques élémentaires à partir desquelles on construit tous les ouverts du plan.

Autrement dit, un sous-ensemble $ U \subseteq \mathbb{R}^2 $ est dit ouvert s’il contient, autour de chacun de ses points $ (x, y) $, un rectangle ouvert entièrement inclus dans $ U $.

Les rectangles ouverts jouent ainsi un rôle central dans la définition de la topologie euclidienne du plan.

$$ B= \{ (a, b) \times (c, d) | a< b, c<d \} $$

Ici, les réels $ a, b, c, d $ définissent les bornes horizontales et verticales du rectangle.

Cette construction fournit une base alternative à la topologie usuelle de $ \mathbb{R}^2 $, habituellement définie à l’aide de boules ouvertes (ou disques).

Remarque : Cette formulation illustre la souplesse des structures topologiques : qu’on utilise des disques ou des rectangles, on peut définir des bases différentes qui engendrent la même topologie. La notion d’ouverture reste inchangée, car toutes ces bases permettent de générer les mêmes ensembles ouverts.

Exemple de rectangle ouvert

Un rectangle ouvert dans $ \mathbb{R}^2 $ est, par définition, le produit cartésien de deux intervalles ouverts - l’un sur l’axe des abscisses, l’autre sur l’axe des ordonnées.

Par exemple, considérons les intervalles $ (1, 3) $ sur l’axe $x$ et $ (2, 4) $ sur l’axe $y$.

exemple de rectangle ouvert

Le rectangle ouvert ainsi défini est l’ensemble des points $ (x, y) $ tels que $ x \in (1, 3) $ et $ y \in (2, 4) $, soit formellement $ (1, 3) \times (2, 4) $.

le point (2,3)

Par exemple, le point $ (2, 3) $ appartient à ce rectangle, car sa première coordonnée est strictement comprise entre 1 et 3, et la seconde entre 2 et 4.

Remarque : Le bord du rectangle n’est pas inclus dans l’ensemble. Ainsi, les points situés sur les segments $ x = 1 $, $ x = 3 $, $ y = 2 $ et $ y = 4 $ n’en font pas partie.