De grens als doorsnede van de sluiting van een verzameling en haar complement

Zij \( A \) een deelverzameling van een topologische ruimte \( X \). De grens \( \partial A \) wordt gedefinieerd als de verzameling punten die zowel tot de sluiting van \( A \) behoren als tot de sluiting van het complement: $$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) $$

Deze definitie zegt iets fundamenteels. Een grenspunt ligt niet volledig "binnen" of "buiten" de verzameling. Het bevindt zich precies op de overgang tussen \( A \) en \( X \setminus A \).

De doorsnede \(\text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A)\) bevat namelijk alle punten waarvan elke omgeving zowel \( A \) als haar complement snijdt. Zulke punten zijn aanliggend aan beide verzamelingen en vormen daarom exact de grens van \( A \).

Concreet voorbeeld

Beschouw de verzameling \( A = (0, 1) \), het open interval tussen 0 en 1 op de reële lijn \(\mathbb{R}\).

De sluiting van dit interval bevat alle punten tussen 0 en 1, inclusief de eindpunten:

$$ \text{Cl}(A) = [0, 1] $$

Het complement van \( A \) in \(\mathbb{R}\) is:

$$ \mathbb{R} \setminus A = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$

Deze verzameling is al gesloten, dus haar sluiting blijft gelijk:

$$ \text{Cl}(\mathbb{R} \setminus A) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$

De grens van \( A \) verkrijgen we als doorsnede van beide sluitingen:

$$ \partial A = [0, 1] \cap ((-\infty, 0] \cup [1, \infty)) $$

Alleen de punten 0 en 1 behoren tot beide verzamelingen:

$$ \partial A = \{0, 1\} $$

De grens van het open interval \( (0, 1) \) bestaat dus uit de randpunten 0 en 1.

Bewijs

Volgens de definitie bestaat de grens \(\partial A\) van een deelverzameling \( A \subseteq X \) uit alle punten \( x \in X \) waarvoor elke omgeving van \( x \) zowel \( A \) als het complement snijdt:

$$ \partial A = \{ x \in X \mid \forall U \in \mathcal{N}(x),\ U \cap A \neq \emptyset \ \text{en} \ U \cap (X \setminus A) \neq \emptyset \} $$

Hierbij stelt \(\mathcal{N}(x)\) de familie van omgevingen van \( x \) voor.

Het bewijs berust op twee inclusies.

1] \( \partial A \subseteq \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) \)

Neem \( x \in \partial A \). Elke omgeving van \( x \) snijdt zowel \( A \) als \( X \setminus A \).

• \( x \in \text{Cl}(A) \)
• \( x \in \text{Cl}(X \setminus A) \)

Dus:

$$ \partial A \subseteq \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) $$

2] \( \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) \subseteq \partial A \)

Neem \( x \in \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) \).

• Elke omgeving snijdt \( A \)
• Elke omgeving snijdt \( X \setminus A \)

Daaruit volgt direct:

$$ x \in \partial A $$

en dus:

$$ \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) \subseteq \partial A $$

Conclusie

Omdat beide inclusies gelden:

• $ \partial A \subseteq \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) $
• $ \partial A \supseteq \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) $

concluderen we:

$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) $$

Hiermee is het bewijs voltooid.