De grens van een verzameling is altijd gesloten
De grens van een verzameling is altijd een gesloten deelverzameling. Dat volgt rechtstreeks uit de definitie: de grens van \(A\) is de doorsnede van de sluiting van \(A\) met de sluiting van het complement: $$ \partial A = Cl(A) \cap Cl(X - A) $$
In een topologische ruimte \(X\) noteren we de grens van een verzameling \(A\) als \(\partial A\). Per definitie geldt:
$$ \partial A = Cl(A) \cap Cl(X - A) $$
Omdat de doorsnede van gesloten verzamelingen opnieuw gesloten is, volgt onmiddellijk dat \(\partial A\) gesloten is.
Concreet voorbeeld
Beschouw \(\mathbb{R}\) met de gebruikelijke topologie, waarin de open verzamelingen precies de open intervallen zijn.
Neem de verzameling \(A = (0,1)\), het open interval tussen 0 en 1.
De sluiting van \(A\) is:
$$ Cl(A) = [0,1] $$
Deze bevat alle punten van \(A\), samen met de accumulatiepunten 0 en 1.
Het complement van \(A\) in \(\mathbb{R}\) is:
$$ \mathbb{R} - A = (-\infty,0] \cup [1,\infty) $$
Dit complement is reeds gesloten, zodat:
$$ Cl(\mathbb{R} - A) = (-\infty,0] \cup [1,\infty) $$
De grens van \(A\) verkrijgen we via de definitie:
$$ \partial A = Cl(A) \cap Cl(\mathbb{R} - A) $$
$$ \partial A = [0,1] \cap \big((-\infty,0] \cup [1,\infty)\big) = \{0,1\} $$
De grens bestaat hier dus uit de punten 0 en 1. Dit is een gesloten verzameling in \(\mathbb{R}\).
Bewijs
We gebruiken enkele fundamentele eigenschappen uit de algemene topologie.
De sluiting van een verzameling \(A\), genoteerd als \(\overline{A}\) of \(Cl(A)\), is per definitie gesloten. Het is de kleinste gesloten verzameling die \(A\) bevat.
Volgens de definitie van de grens geldt:
$$ \partial A = Cl(A) \cap Cl(X - A) $$
Verder weten we dat een eindige doorsnede van gesloten verzamelingen opnieuw gesloten is.
- \(Cl(A)\) is gesloten.
- \(Cl(X - A)\) is eveneens gesloten.
- Hun doorsnede is dus gesloten.
Daaruit volgt dat de grens \(\partial A\) altijd een gesloten verzameling is.
Hiermee is de stelling bewezen.
