De rand van A is een deelverzameling van A dan en slechts dan wanneer A gesloten is

De rand $ \partial A $ van een verzameling $ A $ is een deelverzameling van $ A $ dan en slechts dan wanneer $ A $ gesloten is: \[ \partial A \subseteq A \Leftrightarrow A \text{ gesloten is} \]

Concreet voorbeeld
Bewijs

Concreet voorbeeld

Voorbeeld 1

Beschouw $ A $ als de gesloten schijf met straal 1 en middelpunt in de oorsprong van de euclidische ruimte $\mathbb{R}^2$.

$$ A = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 \leq 1 $$

De rand van $ A $ is in dit geval de cirkel met straal 1:

$$ \partial A = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 = 1 $$

Omdat alle randpunten tot $ A $ behoren, geldt:

$$ \partial A \subseteq A $$

Hieruit volgt dat $ A $ een gesloten verzameling is.

gesloten schijf in R^2 waarbij de rand volledig tot de verzameling behoort

Voorbeeld 2

Neem nu $ B $, de open schijf met straal 1 en eveneens met middelpunt in de oorsprong:

$$ B = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 < 1 $$

De rand van $ B $ is opnieuw de cirkel met straal 1:

$$ \partial B = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 = 1 $$

In dit geval behoren de randpunten echter niet tot $ B $. Daarom geldt:

$$ \partial B \nsubseteq B $$

Dit toont aan dat $ B $ geen gesloten verzameling is.

open schijf in R^2 waarbij de randpunten niet tot de verzameling behoren

Deze twee voorbeelden maken duidelijk dat een gesloten verzameling haar rand altijd bevat, terwijl een open verzameling haar rand nooit bevat.

Bewijs

Het bewijs bestaat uit twee wederkerige stappen.

1] Als de rand van $ A $ een deelverzameling is van $ A $, dan is $ A $ gesloten

Veronderstel dat $ \partial A \subseteq A $. Met andere woorden, alle randpunten van $ A $ behoren tot de verzameling zelf.

We willen hieruit afleiden dat $ A $ gesloten is.

De rand van een verzameling wordt gedefinieerd als $ \partial A = \overline{A} \cap \overline{A^c} $, waarbij $ \overline{A} $ de sluiting van $ A $ voorstelt en $ \overline{A^c} $ de sluiting van het complement van $ A $.

Als alle punten die tegelijk grenspunten zijn van $ A $ en van $ A^c $ in $ A $ liggen, dan bevat $ A $ noodzakelijkerwijs al zijn accumulatiepunten.

Volgens de definitie is een verzameling gesloten wanneer zij al haar sluitingspunten bevat.

Daaruit volgt dat $ A $ gesloten is.

2] Als $ A $ gesloten is, dan geldt $ \partial A \subseteq A $

Veronderstel nu dat $ A $ gesloten is. We tonen aan dat zijn rand een deelverzameling is van $ A $.

Is $ A $ gesloten, dan geldt $ A = \text{Cl}(A) $.

De rand van $ A $ kan dan worden geschreven als:

$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) $$

Door $ \text{Cl}(A) $ te vervangen door $ A $, verkrijgen we:

$$ \partial A = A \cap \text{Cl}(A^c) $$

Dit betekent dat de rand precies bestaat uit die punten van $ A $ die tevens grenspunten zijn van het complement. Deze punten behoren dus tot $ A $.

Daarmee is aangetoond dat $ \partial A \subseteq A $.

3] Conclusie

We hebben aangetoond dat $ \partial A \subseteq A $ dan en slechts dan wanneer $ A $ gesloten is.

Enzovoort.