De vereniging van het interieur en de rand van een verzameling
In de topologie bestaat er een eenvoudige maar belangrijke relatie tussen drie fundamentele begrippen van een verzameling: het interieur, de rand en de afsluiting.
De vereniging van de rand \( \partial A \) van een verzameling met haar interieur \( \text{Int}(A) \) geeft precies de afsluiting van die verzameling :
$$ \partial A \cup \text{Int}(A) = \text{Cl}(A) $$
Met andere woorden: elk punt dat tot de afsluiting van een verzameling behoort, is ofwel een interieurpunt, ofwel een randpunt.
Voorbeeld
Beschouw de verzameling \( A = (0, 1) \) in de topologische ruimte \(\mathbb{R}\), uitgerust met de gebruikelijke topologie.
Het interieur van \(A\) is het open interval \( (0, 1) \) :
$$ \text{Int}(A) = (0, 1) $$
De afsluiting van \(A\) is het gesloten interval \( [0, 1] \). Dit interval bevat ook de randpunten :
$$ \text{Cl}(A) = [0, 1] $$
De rand van \(A\) bestaat uit de twee eindpunten van het interval :
$$ \partial A = \{0, 1\} $$
Als we nu de rand en het interieur samen nemen, krijgen we :
$$ \partial A \cup \text{Int}(A) = \{0, 1\} \cup (0, 1) = [0, 1] $$
Dit is precies de afsluiting van de verzameling :
$$ \partial A \cup \text{Int}(A) = \text{Cl}(A) $$
Het voorbeeld laat duidelijk zien dat de afsluiting van een verzameling kan worden opgebouwd uit haar interieur en haar rand.
Bewijs
Om deze eigenschap formeel te bewijzen, herinneren we eerst aan enkele basisdefinities uit de topologie.
- Interieur van \(A\) (\( \text{Int}(A) \))
De verzameling van alle punten van \(A\) waarvoor een omgeving bestaat die volledig in \(A\) ligt. - Afsluiting van \(A\) (\( \text{Cl}(A) \))
De kleinste gesloten verzameling die \(A\) bevat. Ze bestaat uit alle punten van \(A\) samen met alle ophopingspunten van \(A\). Men heeft :
\[ \text{Cl}(A) = A \cup \partial A \] - Rand van \(A\) (\( \partial A \))
De verzameling van alle punten die zowel tot de afsluiting van \(A\) behoren als tot de afsluiting van het complement ervan :
\[ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) \]
Zij \(A \subseteq X\) een willekeurige deelverzameling van een topologische ruimte.
Volgens de definities kan de afsluiting van \(A\) worden geschreven als :
$$ \text{Cl}(A) = \text{Int}(A) \cup \partial A $$
Daarnaast weten we dat het interieur van \(A\) en de rand van \(A\) geen gemeenschappelijke punten hebben :
$$ \text{Int}(A) \cap \partial A = \emptyset $$
Daaruit volgt dat de afsluiting precies de vereniging is van het interieur en de rand van de verzameling :
$$ \text{Cl}(A) = \text{Int}(A) \cup \partial A $$
Q.E.D.
