Doorsnede van grens en inwendige van een verzameling

De doorsnede van de grens $ \partial A $ en het inwendige $ \text{Int}(A) $ van een verzameling is altijd leeg: $$ \partial A \cap \text{Int}(A) = \emptyset $$

Dit is een fundamenteel inzicht uit de topologie. Het laat zien dat grens en inwendige elkaar strikt uitsluiten. Een punt ligt óf echt binnen de verzameling, óf precies op de rand, maar nooit op beide plaatsen tegelijk.

Een concreet voorbeeld in $\mathbb{R}$
Waarom dit altijd geldt

Een concreet voorbeeld in $\mathbb{R}$

We werken in de topologische ruimte $\mathbb{R}$ met de gebruikelijke topologie, waarin de open verzamelingen de open intervallen zijn.

Neem de verzameling $A = (0,1)$, het open interval tussen 0 en 1.

Het inwendige

Het inwendige van $A$ bestaat uit alle punten waarvoor een open omgeving volledig binnen $A$ ligt. Bij een open interval is dat eenvoudig: elk punt ligt al “vrij” binnen de verzameling.

$$ \text{Int}(A) = A = (0,1) $$

De sluiting

De sluiting van $A$, genoteerd als $ \text{Cl}(A) $, bevat alle punten van $A$ én de limietpunten. In dit geval zijn dat de eindpunten 0 en 1.

$$ \text{Cl}(A) = [0,1] $$

Het complement

Het complement van $A$ in $\mathbb{R}$ is:

$$ \mathbb{R} - A = (-\infty,0] \cup [1,\infty) $$

Dit complement is gesloten. Daarom geldt:

$$ \text{Cl}(\mathbb{R} - A) = (-\infty,0] \cup [1,\infty) $$

De grens

De grens wordt gedefinieerd als de doorsnede van beide sluitingen:

$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(\mathbb{R} - A) $$

Invullen geeft:

$$ \partial A = [0,1] \cap ((-\infty,0] \cup [1,\infty)) $$

$$ \partial A = \{0,1\} $$

Nu de doorsnede

We vergelijken grens en inwendige:

$$ \partial A \cap \text{Int}(A) = \{0,1\} \cap (0,1) $$

$$ \partial A \cap \text{Int}(A) = \emptyset $$

Geen enkel punt behoort tegelijk tot de grens en tot het inwendige. Dat is geen toeval, maar een algemene eigenschap.

Waarom dit altijd geldt

De verklaring volgt direct uit de definities.

De grens van $A$ is:

$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X - A) $$

Een punt ligt op de grens als elke open omgeving zowel $A$ als het complement raakt. Zo’n punt zit precies op de overgang tussen binnen en buiten.

Het inwendige $ \text{Int}(A) $ bestaat daarentegen uit punten waarvoor een open omgeving volledig binnen $A$ ligt.

Stel dat $x \in \partial A$. Dan:

snijdt elke open omgeving van $x$ de verzameling $A$;
snijdt elke open omgeving van $x$ ook het complement $X - A$.

Er kan dus geen open omgeving van $x$ bestaan die volledig in $A$ ligt. Daarom:

$$ x \notin \text{Int}(A) $$

Omgekeerd, neem $y \in \text{Int}(A)$. Dan bestaat er een open omgeving van $y$ die volledig in $A$ ligt. Die omgeving raakt het complement niet. Dus:

$$ y \notin \text{Cl}(X - A) \Rightarrow y \notin \partial A $$

Daaruit volgt onvermijdelijk: