Een continue functie hoeft geen open afbeelding te zijn

Een continue functie $ f : X \to Y $ stuurt open verzamelingen van $ X $ niet noodzakelijk door naar open verzamelingen van $ Y $.

Continuïteit garandeert dus niet dat open verzamelingen behouden blijven. Dat is precies het verschil met open afbeeldingen.

Met andere woorden, een continue functie hoeft geen open afbeelding te zijn.

Wat is een open afbeelding? Een open afbeelding $ f : X \to Y $ is een functie die elke open verzameling van $ X $ afbeeldt op een open verzameling van $ Y $.

Het feit dat een functie continu is, zegt dus niets over wat er gebeurt met open verzamelingen wanneer je ze rechtstreeks afbeeldt. Continuïteit en openheid beschrijven twee verschillende eigenschappen.

Een concreet voorbeeld
Continuïteit versus openheid

Een concreet voorbeeld

Neem de functie $ f(x) = x^2 $, die continu is op $ \mathbb{R} $.

Beschouw de open verzameling $ (-2, 2) \subset \mathbb{R} $. Dit is de verzameling van alle reële getallen strikt tussen $ -2 $ en $ 2 $.

We passen de functie $ f(x) = x^2 $ toe op deze verzameling.

$$ f(-2) = (-2)^2 = 4 \\ f(0) = 0^2 = 0 \\ f(2) = 2^2 = 4 $$

Het beeld van $ (-2, 2) $ onder $ f(x) = x^2 $ is het interval $ [0, 4) $.

Dit interval is geen open verzameling in $ \mathbb{R} $. Hoewel $ 0 $ tot het beeld behoort, bestaat er geen open omgeving van $ 0 $ die volledig binnen $ [0, 4) $ ligt. Het punt $ 0 $ vormt namelijk een grenspunt.

Dit voorbeeld laat duidelijk zien wat er gebeurt: de functie is continu, maar stuurt een open verzameling niet naar een open verzameling.

Daarom is $ f(x) = x^2 $, ondanks haar continuïteit op heel $ \mathbb{R} $, geen open afbeelding.

Continuïteit versus openheid

Het verschil tussen deze twee begrippen zit in de richting waarin je kijkt.

Continue functie
Een functie $ f : X \to Y $ is continu als de inverse afbeelding van elke open verzameling in $ Y $ open is in $ X $.
Met andere woorden: voor elke open verzameling $ U \subset Y $ is $ f^{-1}(U) $ open in $ X $.
Continuïteit kijkt naar wat er gebeurt wanneer je verzamelingen “terughaalt” vanuit het codomein. Open verzamelingen blijven dan open.
Open afbeelding
Een functie $ f : X \to Y $ heet open als het beeld van elke open verzameling in $ X $ open is in $ Y $.
Met andere woorden: voor elke open verzameling $ V \subset X $ is $ f(V) $ open in $ Y $.
Openheid kijkt juist naar de andere richting: wat gebeurt er met open verzamelingen wanneer je ze afbeeldt naar het codomein.

Samengevat: continuïteit gaat over inverse beelden, terwijl openheid gaat over directe beelden. Het zijn twee verschillende eigenschappen die onafhankelijk van elkaar zijn.

Enzovoort.