Inwendige van een cartesisch product

Zij \(A\) en \(B\) twee verzamelingen, respectievelijk deelverzamelingen van de topologische ruimten \(X\) en \(Y\). Dan geldt dat het inwendige van hun cartesisch product \(A \times B\) gelijk is aan het cartesisch product van hun inwendigen: $$ \operatorname{Int}(A \times B) = \operatorname{Int}(A) \times \operatorname{Int}(B) $$

Deze eigenschap speelt een centrale rol in de producttopologie en laat zien hoe lokale eigenschappen van verzamelingen zich gedragen onder het cartesisch product.

Intuïtief komt het erop neer dat je, om het inwendige van een productverzameling te bepalen, eenvoudigweg de “binnenste punten” van elke verzameling apart neemt en die combineert.

Een concreet voorbeeld

Neem de topologische ruimten \(X = \mathbb{R}\) en \(Y = \mathbb{R}\), en beschouw de verzamelingen \(A = (0, 2)\) en \(B = (1, 3)\).

Beide verzamelingen zijn open intervallen in de reële lijn \(\mathbb{R}\).

Omdat \(A\) en \(B\) al open zijn, vallen hun inwendigen samen met de verzamelingen zelf:

$$ \operatorname{Int}(A) = (0, 2) $$

$$ \operatorname{Int}(B) = (1, 3) $$

We nemen nu het cartesisch product van de inwendigen:

$$ \operatorname{Int}(A) \times \operatorname{Int}(B) = (0, 2) \times (1, 3) $$

Dit beschrijft alle punten \((x, y)\) waarvoor \(x\) tussen 0 en 2 ligt en \(y\) tussen 1 en 3:

$$ \{(x, y) \mid x \in (0, 2),\ y \in (1, 3)\} $$

Geometrisch gezien gaat het om een open rechthoek in het vlak \(\mathbb{R}^2\), begrensd door de punten \((0, 1)\), \((0, 3)\), \((2, 1)\) en \((2, 3)\).

Kijken we nu naar het cartesisch product zelf, \(A \times B\), dan krijgen we precies dezelfde open rechthoek. Het inwendige verandert dus niet:

$$ \operatorname{Int}(A \times B) = (0, 2) \times (1, 3) $$

Dit voorbeeld maakt meteen duidelijk wat de stelling zegt: het inwendige van het product komt exact overeen met het product van de inwendigen.

Bewijs

Het bewijs berust op een standaardtechniek in de topologie: het aantonen van twee inclusies. We laten eerst zien dat het product van de inwendigen in het inwendige van het product ligt, en daarna ook de omgekeerde inclusie.

1] \( \operatorname{Int}(A) \times \operatorname{Int}(B) \subseteq \operatorname{Int}(A \times B) \)

Neem een willekeurig punt \((x, y)\) met \(x \in \operatorname{Int}(A)\) en \(y \in \operatorname{Int}(B)\).

Omdat \(x\) een inwendig punt is van \(A\), bestaat er een open verzameling \(U \subseteq X\) met \(x \in U \subseteq A\).

Analoog bestaat er voor \(y\) een open verzameling \(V \subseteq Y\) met \(y \in V \subseteq B\).

Het product \(U \times V\) is dan open in de producttopologie en bevat \((x, y)\), met bovendien \(U \times V \subseteq A \times B\).

Dus \((x, y)\) is een inwendig punt van \(A \times B\), en daarmee volgt de inclusie.

2] \( \operatorname{Int}(A \times B) \subseteq \operatorname{Int}(A) \times \operatorname{Int}(B) \)

Neem nu een punt \((x, y) \in \operatorname{Int}(A \times B)\).

Per definitie bestaat er een open verzameling \(W \subseteq X \times Y\) met \((x, y) \in W \subseteq A \times B\).

Omdat de producttopologie een basis heeft van verzamelingen van de vorm \(U \times V\), bestaat er zo’n product met \((x, y) \in U \times V \subseteq W\).

Uit \(U \times V \subseteq A \times B\) volgt dat \(U \subseteq A\) en \(V \subseteq B\).

Daaruit volgt dat \(x \in \operatorname{Int}(A)\) en \(y \in \operatorname{Int}(B)\), en dus \((x, y) \in \operatorname{Int}(A) \times \operatorname{Int}(B)\).

3] Conclusie

Omdat beide inclusies gelden:

$$ \operatorname{Int}(A) \times \operatorname{Int}(B) \subseteq \operatorname{Int}(A \times B) $$

$$ \operatorname{Int}(A \times B) \subseteq \operatorname{Int}(A) \times \operatorname{Int}(B) $$

volgt onmiddellijk dat:

$$ \operatorname{Int}(A \times B) = \operatorname{Int}(A) \times \operatorname{Int}(B) $$

Dit sluit het bewijs af.