Verzamelingen met lege grens

De grens $\partial A$ van een verzameling $A$ is leeg dan en slechts dan wanneer $A$ zowel open als gesloten is (clopen) : $$ \partial A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ is clopen} $$

Dit houdt in dat $A$ geen grenspunten heeft. Met andere woorden, er bestaat geen punt dat tegelijk behoort tot de afsluiting van $A$ en tot de afsluiting van het complement van $A$.

Voorbeelden
Bewijs

Voorbeelden

Voorbeeld 1

Beschouw de lege verzameling $ A = \emptyset $ in de topologische ruimte $\mathbb{R}$, voorzien van de gebruikelijke topologie.

We onderzoeken of haar grens leeg is :

$$ \text{Cl}(A) = \emptyset $$

Het complement is $A^c = \mathbb{R}$. De afsluiting daarvan is heel $\mathbb{R}$, aangezien $\mathbb{R}$ gesloten is :

$$ \text{Cl}(A^c) = \mathbb{R} $$

Daaruit volgt :

$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) = \emptyset \cap \mathbb{R} = \emptyset $$

De grens is dus leeg. Dit betekent dat $A$ clopen is. De lege verzameling is immers per definitie open en tevens gesloten, omdat zij geen aanhechtingspunten heeft.

Voorbeeld 2

Neem nu $ A = \mathbb{R} $, opnieuw met de gebruikelijke topologie.

De afsluiting van $A$ is :

$$ \text{Cl}(A) = \mathbb{R} $$

Het complement is $A^c = \emptyset$, waarvan de afsluiting eveneens leeg is :

$$ \text{Cl}(A^c) = \emptyset $$

We krijgen dus :

$$ \partial A = \mathbb{R} \cap \emptyset = \emptyset $$

Ook hier is de grens leeg. De verzameling $\mathbb{R}$ is zowel open als gesloten en dus clopen.

Voorbeeld 3

Beschouw ten slotte $A = [0,1)$ in $\mathbb{R}$ met de gebruikelijke topologie.

De afsluiting van $A$ is $[0,1]$. Het complement is $A^c = (-\infty, 0) \cup [1, \infty)$.

De afsluiting van $A^c$ is :

$$ \text{Cl}(A^c) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$

De grens van $A$ wordt dan :

$$ \partial A = [0,1] \cap \left( (-\infty, 0] \cup [1, \infty) \right) = \{0, 1\} $$

In dit geval is de grens niet leeg. De verzameling $A$ is dus niet clopen. Ze is halfopen en bijgevolg noch open, noch gesloten in $\mathbb{R}$ met de standaardtopologie.

Deze voorbeelden maken duidelijk dat een verzameling precies dan een lege grens heeft wanneer zij tegelijk open en gesloten is, dat wil zeggen clopen.

Bewijs

Volgens de definitie wordt de grens van een verzameling $A$ gegeven door :

$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) $$

We tonen nu de volgende equivalentie aan : $$ \partial A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ is clopen} $$ door beide richtingen afzonderlijk te bewijzen.

1] Lege grens impliceert dat $A$ open en gesloten is

Veronderstel dat :

$$ \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) = \emptyset $$

De twee afsluitingen zijn dan disjunct.

$A$ is gesloten

Hieruit volgt :

$$ \text{Cl}(A) \subseteq \left( \text{Cl}(A^c) \right)^c \subseteq (A^c)^c = A $$

Aangezien altijd geldt dat $ A \subseteq \text{Cl}(A) $, krijgen we :

$$ \text{Cl}(A) = A $$

Dit toont aan dat $A$ gesloten is.

$A$ is open

Op analoge wijze geldt :

$$ \text{Cl}(A^c) \subseteq A^c $$

Daaruit volgt dat $A^c$ gesloten is en dus dat $A$ open is.

Als de grens van $A$ leeg is, dan is $A$ dus zowel open als gesloten, en daarmee clopen.

2] Clopen impliceert een lege grens

Veronderstel nu dat $A$ clopen is.

Dan geldt :

$$ A = \text{Cl}(A), \quad A^c = \text{Cl}(A^c) $$

Daaruit volgt :

$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) = A \cap A^c $$

De doorsnede van een verzameling met haar complement is altijd leeg :

$$ \partial A = \emptyset $$

3] Conclusie

We hebben hiermee aangetoond dat : $$ \partial A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ is clopen} $$

Wat bewezen moest worden.

Verzamelingen met lege grens

Voorbeelden

Bewijs

1] Lege grens impliceert dat \(A\) open en gesloten is

2] Clopen impliceert een lege grens

3] Conclusie