Charakterystyka zbiorów otwartych za pomocą wnętrza
Zbiór \( A \) w przestrzeni topologicznej \( X \) jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest równy swojemu wnętrzu, czyli gdy zachodzi równość $$ A = \operatorname{Int}(A) $$
Mówiąc prościej, zbiór \( A \) jest otwarty wtedy, gdy każdy jego punkt ma otoczenie otwarte, które w całości zawiera się w \( A \).
Równoważnie można to ująć w następujący sposób: zbiór \( A \) jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera wszystkie zbiory otwarte, które są jego podzbiorami. Właśnie tę własność formalnie zapisujemy jako \( A = \operatorname{Int}(A) \).
Wnętrze zbioru, czyli wnętrze zbioru \( \operatorname{Int}(A) \), jest największym zbiorem otwartym zawartym w \( A \). Można je opisać jako sumę wszystkich zbiorów otwartych zawartych w \( A \).
Przykład ilustracyjny
Rozważmy przestrzeń topologiczną \( \mathbb{R} \) z topologią standardową, w której każdy przedział otwarty jest zbiorem otwartym.
Sprawdźmy teraz, na podstawie warunku \( A = \operatorname{Int}(A) \), czy wybrane zbiory są otwarte.
Przykład 1
Niech dany będzie przedział otwarty \( A = (0, 1) \).
$$ A = (0, 1) $$
Jego wnętrze pokrywa się z nim samym:
$$ \operatorname{Int}(A) = (0,1) $$
Ponieważ zbiór \( A \) jest równy swojemu wnętrzu, wnioskujemy, że jest on zbiorem otwartym.
Przykład 2
Rozważmy teraz przedział domknięty \( B = [0,1] \).
$$ B = [0, 1] $$
Wnętrzem zbioru \( B \) jest przedział otwarty \( (0,1) \), który nie zawiera punktów brzegowych.
$$ \operatorname{Int}(B) = (0,1) $$
W tym przypadku zachodzi nierówność \( B \ne \operatorname{Int}(B) \), a zatem zbiór \( B \) nie jest otwarty.
Uwaga : Powyższe przykłady pokazują, w jaki sposób pojęcie wnętrza pozwala w prosty i intuicyjny sposób rozpoznawać zbiory otwarte.
Dowód
Pokażemy teraz, że dla dowolnego zbioru \( A \subseteq X \) zachodzi równoważność: zbiór \( A \) jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy \( A = \operatorname{Int}(A) \).
Dowód przeprowadzimy w dwóch krokach.
1] Jeśli \( A \) jest otwarty, to \( \operatorname{Int}(A) = A \)
Załóżmy, że \( A \) jest zbiorem otwartym. Z definicji wynika, że każdy punkt \( x \in A \) ma pewne otoczenie otwarte \( U \subseteq A \).
Oznacza to, że każdy punkt zbioru \( A \) należy do jego wnętrza, a więc:
$$ A \subseteq \operatorname{Int}(A) $$
Z drugiej strony, z samej definicji wnętrza wynika, że:
$$ \operatorname{Int}(A) \subseteq A $$
Połączenie obu inkluzji prowadzi do równości:
$$ A = \operatorname{Int}(A) $$
2] Jeśli \( A = \operatorname{Int}(A) \), to \( A \) jest otwarty
Załóżmy teraz, że \( A = \operatorname{Int}(A) \).
Niech \( x \in A \). Wówczas \( x \in \operatorname{Int}(A) \), co oznacza, że istnieje zbiór otwarty \( U \subseteq A \), taki że \( x \in U \).
Oznacza to, że każdy punkt zbioru \( A \) posiada otoczenie otwarte zawarte w \( A \), a więc \( A \) jest zbiorem otwartym.
3] Wniosek
Ostatecznie otrzymujemy następujące twierdzenie: zbiór \( A \subseteq X \) jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest równy swojemu wnętrzu, to znaczy gdy zachodzi $$ A = \operatorname{Int}(A) $$
Wynik ten stanowi jedno z podstawowych i najczęściej wykorzystywanych kryteriów rozpoznawania zbiorów otwartych w topologii ogólnej.
