Topologia o dopełnieniu skończonym

Topologia o dopełnieniu skończonym to jeden z ciekawszych przykładów struktur topologicznych. Definiuje się ją na zbiorze $X$ w taki sposób, że podzbiór uznaje się za otwarty, jeśli jego dopełnienie jest skończone.

Innymi słowy, zbiór jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy w jego dopełnieniu znajduje się skończona liczba elementów.

Z tego natychmiast wynika, że każdy zbiór skończony jest domknięty, ponieważ zbiór domknięty to z definicji dopełnienie zbioru otwartego.

Warto też zauważyć, że zarówno zbiór pusty, jak i cały zbiór $X$ są zbiorami clopen - czyli jednocześnie otwartymi i domkniętymi. To uniwersalna cecha występująca w każdej topologii.

Czym jest topologia? Topologia to sposób opisu struktury zbioru bez użycia pojęcia odległości. Zamiast mierzyć dystanse, badamy relacje pomiędzy podzbiorami: które z nich są otwarte, jakie mają granice, jak można opisać ciągłość czy zbieżność. Formalnie, topologia to zbiór podzbiorów spełniających określone aksjomaty.

Topologia o dopełnieniu skończonym nie wynika z natury zbioru, lecz jest sposobem zdefiniowania, które jego podzbiory uznajemy za otwarte - w tym przypadku na podstawie liczby elementów w ich dopełnieniu.

Choć często rozważa się ją na zbiorze liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$, można ją wprowadzić na dowolnym zbiorze, stosując to samo kryterium.

W tej topologii każdy podzbiór $\mathbb{R}$, którego dopełnienie jest skończone, uznaje się za otwarty.

Dlaczego jest to interesujące? Ta topologia pokazuje, jak bardzo sposób definiowania pojęcia „otwartości" wpływa na strukturę przestrzeni. Ten sam zbiór może mieć różne topologie, a każda z nich prowadzi do odmiennych własności i wniosków matematycznych.

Przykład
Inne przykłady

Przykład

Rozważmy zbiór $V$, który powstaje po usunięciu z liczb rzeczywistych czterech elementów: 1, 2, 4 i 8.

$$ V = \mathbb{R} - \{1, 2, 4, 8\} $$

Jego dopełnieniem jest zbiór $ \{1, 2, 4, 8\} $, a więc zbiór skończony, ponieważ zawiera tylko cztery elementy.

$$ C_V = \{1,2,4,8\} $$

Z definicji wynika, że $V$ jest otwarty w topologii o dopełnieniu skończonym.

Uwaga: Zbiór jest otwarty w tej topologii wtedy i tylko wtedy, gdy jego dopełnienie jest skończone.

Inne przykłady

Każdy podzbiór prostej rzeczywistej, z którego usunięto skończoną liczbę punktów, jest otwarty w tej topologii. Na przykład:

$ \mathbb{R} - \{0\} $ jest otwarty, ponieważ jego dopełnienie $\{0\}$ zawiera tylko jeden element.
$ \mathbb{R} - \{-5, \sqrt{2}\} $ jest otwarty, gdyż jego dopełnienie ma dwa elementy.
$ \mathbb{R} - \{\pi, e, -1\} $ to kolejny przykład zbioru otwartego w tej topologii.

Ogólnie rzecz biorąc, każdy zbiór różniący się od $\mathbb{R}$ o skończoną liczbę punktów będzie w tej topologii otwarty. To prosta, ale bardzo sugestywna ilustracja sposobu, w jaki matematyka potrafi uogólniać intuicyjne pojęcia przestrzeni.