Topologia z bazą przedziałów postaci [a, b)

W topologii prostej Sorgenfreya za zbiory otwarte uznaje się wszystkie sumy przedziałów półotwartych postaci [a, b), gdzie a < b. Każdy z takich przedziałów zawiera swój lewy (dolny) koniec, natomiast prawy (górny) jest z niego wyłączony.

Innymi słowy, w tej topologii „otwartość" oznacza włączenie tylko jednej granicy przedziału - lewej. Ten prosty zabieg prowadzi do zupełnie innej struktury niż w zwykłej topologii euklidesowej.

Podstawę tej topologii stanowi zbiór wszystkich przedziałów półotwartych [a, b), czyli:

$$ B = \{ [a,b) \subset \mathbb{R} \mid a \lt b \} $$

Każdy z tych przedziałów obejmuje lewy koniec, ale wyklucza prawy, co znacząco wpływa na sposób, w jaki postrzegamy zbiory otwarte na prostej rzeczywistej.

Uwaga: Topologia prostej Sorgenfreya jest alternatywą wobec standardowej topologii euklidesowej na liczbach rzeczywistych (\(\mathbb{R}\)), w której zbiory otwarte mają postać (a, b) i nie zawierają żadnych końców przedziałów.

Ten przykład często pojawia się w podręcznikach i na zajęciach z topologii ogólnej, ponieważ w prosty, lecz bardzo czytelny sposób pokazuje, jak odmienny wybór topologii może zmienić nasze rozumienie pojęcia zbioru otwartego oraz właściwości przestrzeni topologicznej.

Przykład praktyczny

Rozważmy przestrzeń liczb rzeczywistych \(\mathbb{R}\), w której zbiory otwarte to właśnie wszystkie przedziały półotwarte [a, b). Przykładowe zbiory otwarte w tej topologii to [0, 2), [1, 4) czy [-4, 2).

Cała kolekcja takich przedziałów tworzy bazę topologii prostej Sorgenfreya. Oznacza to, że każdy zbiór otwarty można zapisać jako sumę pewnych przedziałów półotwartych tej postaci.

Choć konstrukcja wydaje się nieskomplikowana, topologia prostej Sorgenfreya ma wiele zaskakujących własności. Nie jest równoważna standardowej topologii euklidesowej, ale pozwala badać subtelne różnice między różnymi pojęciami ciągłości i zbieżności. Dzięki temu stanowi cenne narzędzie dydaktyczne i klasyczny przykład w analizie topologicznej.