Przykład topologii

Zastanówmy się, jakie topologie można zdefiniować na bardzo prostym zbiorze \(X\).

$$ X = \{ a,b \} $$

Aby to ustalić, trzeba przeanalizować wszystkie możliwe rodziny podzbiorów \(X\), które spełniają warunki formalnej definicji topologii.

Definicja topologii. Topologia na zbiorze \(X\) to rodzina \(T\) jego podzbiorów, która spełnia trzy podstawowe aksjomaty:

• Zawiera zbiór pusty \(∅\) oraz cały zbiór \(X\).
• Jest domknięta względem dowolnych (skończonych lub nieskończonych) sum zbiorów należących do \(T\).
• Jest domknięta względem skończonych przecięć zbiorów należących do \(T\).

W przypadku zbioru \( X = \{a,b\} \) jego zbiór potęgowy, czyli zbiór wszystkich możliwych podzbiorów, ma postać:

$$ P(X) = \{ ∅, \{ a \}, \{ b \}, X \} $$

Każda topologia na \(X\) musi zawierać zarówno \(∅\), jak i \(X\), dlatego oba te zbiory pojawiają się w każdej możliwej topologii.

Na tej podstawie możemy wymienić wszystkie rodziny podzbiorów, które spełniają aksjomaty topologii:

1. Topologia trywialna (minimalna) - zawiera tylko zbiory niezbędne: $$ T_1 = \{ ∅, \{a,b\} \} $$
2. Topologia, która dodatkowo obejmuje singleton \(\{a\}\) : $$ T_2 = \{ ∅, \{a\}, \{a,b\} \} $$
3. Topologia, która dodatkowo obejmuje singleton \(\{b\}\) : $$ T_3 = \{ ∅, \{b\}, \{a,b\} \} $$
4. Topologia dyskretna (maksymalna) - zawiera wszystkie podzbiory \(X\) : $$ T_4 = \{ ∅, \{a\}, \{b\}, \{a,b\} \} $$

To są wszystkie możliwe topologie zdefiniowane na zbiorze \(X\).

Topologia trywialna jest najprostsza - pozwala odróżnić jedynie zbiór pusty od całego zbioru. Topologia dyskretna stanowi natomiast jej przeciwieństwo: każdy podzbiór uznaje za otwarty, co nadaje jej najbogatszą strukturę.

W rezultacie zbiór \( X = \{a,b\} \) dopuszcza dokładnie cztery różne topologie.

Przykład 2

Przyjrzyjmy się teraz bardziej złożonemu przypadkowi - zbiorowi trójelementowemu:

$$ X = \{ a,b,c \} $$

Chcemy sprawdzić, czy następująca rodzina podzbiorów definiuje topologię na \(X\) :

$$ T_3 = \{ ∅, \{ a \}, \{ b \}, \{b,c\}, \{a,b,c\} \} $$

Na początku sprawdźmy, czy \( T_3 \) zawiera zbiór pusty oraz cały zbiór \(X = \{a,b,c\}\). Oba te zbiory rzeczywiście w niej występują, więc pierwszy warunek jest spełniony.

Teraz należy sprawdzić, czy rodzina \(T_3\) jest domknięta względem sum. Widać jednak, że suma \( \{a\} \cup \{b\} = \{a,b\} \) nie należy do \(T_3\), co oznacza, że nie spełnia ona definicji topologii.

$$ \{a\} \cup \{b\} = \{a,b\} \notin T $$

Ten pojedynczy kontrprzykład wystarczy, by stwierdzić, że \(T_3\) nie jest topologią na \(X\).

Skoro jeden z aksjomatów nie jest spełniony, nie ma potrzeby sprawdzać pozostałych. W analogiczny sposób można analizować inne przypadki, badając krok po kroku, czy dana rodzina zbiorów spełnia wszystkie warunki definicji topologii.