Topologia otwartych prostokątów

Topologia otwartych prostokątów to jeden z najbardziej intuicyjnych sposobów opisu przestrzeni $ \mathbb{R}^2 $. W tym podejściu zbiór jest otwarty, gdy można go zbudować jako sumę prostokątów otwartych, czyli iloczynów dwóch przedziałów otwartych: jednego na osi $x$, drugiego na osi $y$. Taki sposób patrzenia na płaszczyznę pozwala precyzyjnie analizować jej strukturę i lepiej zrozumieć podstawowe własności topologiczne.

Podstawę tej topologii tworzą otwarte sąsiedztwa prostokątne, które działają jak elementarne klocki. Z ich pomocą można opisać wszystkie zbiory otwarte występujące w $ \mathbb{R}^2 $.

W praktyce oznacza to, że podzbiór $ U \subseteq \mathbb{R}^2 $ jest otwarty, jeśli wokół każdego punktu $ (x, y) \in U $ można znaleźć otwarty prostokąt zawarty całkowicie w $ U $. Ten warunek jest zgodny z intuicją: aby punkt znajdował się w „środku" zbioru, musi istnieć pewien margines przestrzeni, który nie wykracza poza granice zbioru.

Prostokąty otwarte pełnią więc kluczową rolę w opisie standardowej topologii euklidesowej, będąc równoważną alternatywą dla kul otwartych.

$$ B = \{ (a, b) \times (c, d) \mid a < b,\ c < d \} $$

Wartości $ a, b, c, d $ wyznaczają dolne i górne granice prostokąta na osi poziomej i pionowej. Zmieniając te liczby, otrzymujemy różne prostokąty, które możemy ze sobą łączyć, aby opisać interesujące nas zbiory.

Taki sposób budowania topologii jest całkowicie równoważny klasycznemu opisowi za pomocą dysków, choć operuje prostokątami. Obie konstrukcje prowadzą do tej samej rodziny zbiorów otwartych.

Uwaga: To, że różne bazy mogą generować tę samą topologię, pokazuje dużą elastyczność tej dziedziny. Niezależnie od tego, czy posługujemy się dyskami, czy prostokątami, otrzymujemy ten sam opis otwartych fragmentów przestrzeni.

Przykład prostokąta otwartego

Aby lepiej zrozumieć ideę otwartego prostokąta, rozważmy dwa przedziały: $ (1, 3) $ na osi $x$ oraz $ (2, 4) $ na osi $y$. Ich iloczyn tworzy prostokąt otwarty w $ \mathbb{R}^2 $.

schemat prostokąta otwartego

Taki prostokąt obejmuje wszystkie punkty $ (x, y) $, które spełniają jednocześnie warunki $ 1 < x < 3 $ oraz $ 2 < y < 4 $. W zapisie symbolicznym jest to $ (1, 3) \times (2, 4) $.

punkt (2,3) znajdujący się we wnętrzu prostokąta

Przykładowo, punkt $ (2, 3) $ znajduje się wewnątrz tego prostokąta, ponieważ spełnia obie nierówności określające przedziały.

Uwaga: Granice prostokąta nie są częścią zbioru. Odcinki odpowiadające równaniom $ x = 1 $, $ x = 3 $, $ y = 2 $ oraz $ y = 4 $ pozostają poza jego wnętrzem. To właśnie brak punktów brzegowych sprawia, że prostokąt jest otwarty.