Topologia punktu wyróżnionego

Topologia punktu wyróżnionego na zbiorze $ X $, w którym wybrano określony punkt $ p $, to jedna z najprostszych, a zarazem ciekawszych konstrukcji w topologii ogólnej. Definiuje się ją jako rodzinę wszystkich podzbiorów $ X $, które są puste lub zawierają punkt $ p $.

Innymi słowy, w tej topologii wszystkie zbiory, które „obejmują” punkt $ p $, uznawane są za otwarte, podobnie jak zbiór pusty i cały zbiór $ X $. Pomysł jest prosty, ale dobrze pokazuje, jak można tworzyć topologie w sposób czysto abstrakcyjny, bez odwoływania się do pojęć odległości czy geometrii.

W literaturze matematycznej można spotkać również nazwę „topologia punktu stałego”.

Uwaga. Aby dana rodzina zbiorów mogła być uznana za topologię, musi spełniać podstawowe aksjomaty topologiczne: zawierać zbiór pusty i cały zbiór, być domknięta względem dowolnych sum oraz skończonych przecięć.

Przykład

Rozważmy zbiór $ X = \{a, b, c\} $ i wybierzmy punkt wyróżniony $ a $. Topologia punktu wyróżnionego względem tego punktu obejmuje następujące zbiory:

Zbiór pusty: $ \emptyset $
Cały zbiór: $ X = \{a, b, c\} $
Wszystkie podzbiory zawierające $ a $: $ \{a\}, \{a, b\}, \{a, c\} $

Zatem otrzymujemy następującą topologię:

$$ T = \{ \emptyset, \{a\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{a, b, c\} \} $$

Łatwo sprawdzić, że ta rodzina spełnia wszystkie aksjomaty topologii:

Zawiera zbiór pusty i cały zbiór $ X $.
Jest domknięta względem dowolnych unii: suma dowolnych zbiorów zawierających $ a $ (z wyjątkiem ewentualnie zbioru pustego) również zawiera $ a $, a więc należy do $ T $.
Jest domknięta względem skończonych przecięć: przecięcie skończonej liczby zbiorów należących do $ T $, o ile nie jest puste, również zawiera $ a $, dlatego nadal należy do $ T $.

W ten sposób otrzymujemy prosty, ale bardzo użyteczny przykład topologii. Pomaga on lepiej zrozumieć, jak można konstruować przestrzenie topologiczne, zaczynając od intuicyjnych warunków i przekształcając je w formalny opis matematyczny.