Topologia z wyłączonym punktem

Topologia z wyłączonym punktem to ciekawy przykład konstrukcji topologicznej. Powstaje na zbiorze $X$, gdy wybierzemy w nim pewien wyróżniony punkt $p$ i uznamy za otwarte wszystkie podzbiory, które tego punktu nie zawierają, a ponadto sam zbiór $X$ oraz zbiór pusty.

Rodzina zbiorów otwartych w tej topologii obejmuje zatem:

zbiór pusty ($Ø$)
zbiór całkowity $X$
wszystkie podzbiory zbioru $X$, które nie zawierają punktu $p$

Można to zapisać krócej: podzbiór $A \subseteq X$ jest otwarty w topologii z wyłączonym punktem wtedy i tylko wtedy, gdy $A = \emptyset$, $A = X$ lub $p \notin A$.

Taka konstrukcja spełnia wszystkie trzy klasyczne aksjomaty przestrzeni topologicznej, dlatego stanowi pełnoprawną topologię w sensie matematycznym.

Uwaga : W polskojęzycznych opracowaniach nie ma utrwalonej jednej nazwy dla tej konstrukcji. Najczęściej opisuje się ją wprost, jako „topologię określoną przez wyłączenie punktu". Wyrażenie „topologia z wyłączonym punktem" jest jednak w pełni zrozumiałe i dobrze oddaje sens definicji.

Przykład
Sprawdzenie aksjomatów topologii

Przykład

Załóżmy, że mamy zbiór $X$ złożony z trzech elementów:

$$ X = \{a, b, c\} $$

Wybierzmy $p = a$ jako punkt wyłączony.

Wtedy topologia z wyłączonym punktem na zbiorze $X$ zawiera następujące zbiory otwarte:

zbiór pusty : $Ø$
zbiór całkowity : $X = \{a, b, c\}$
podzbiory niezawierające elementu $a$ : $\{b\}, \{c\}, \{b, c\}$

Zbiór wszystkich zbiorów otwartych można więc zapisać tak:

$$ T = \{\emptyset, \{a, b, c\}, \{b\}, \{c\}, \{b, c\}\} $$

Sprawdzenie aksjomatów topologii

Zamknięcie względem dowolnych sum :
Na przykład, $\{b\} \cup \{c\} = \{b, c\}$ oraz $\{b\} \cup \emptyset = \{b\}$. Oba te zbiory należą do $T$.
Zamknięcie względem skończonych przecięć :
Dla przykładu, $\{b\} \cap \{c\} = \emptyset$ oraz $\{b, c\} \cap \{b\} = \{b\}$. Oba te zbiory również znajdują się w $T$.
Obecność zbioru pustego i całkowitego : $\emptyset$ i $X$ są częścią tej topologii.

Jak widać, wyłączenie jednego punktu (w tym przypadku $a$) wystarcza, by utworzyć poprawną, choć nietypową topologię. Konstrukcja ta pozwala ilustrować różne pojęcia z topologii ogólnej, zwłaszcza te dotyczące własności przestrzeni i charakteru zbiorów otwartych.