Topologia trywialna
Topologia trywialna (lub minimalna) na zbiorze \( X \) to najprostsza możliwa struktura topologiczna. Składa się tylko z dwóch zbiorów: pustego i całego zbioru \( X \). $$ T = \{ \emptyset , X \} $$
Nazywa się ją „trywialną", ponieważ stanowi najbardziej podstawowy przykład topologii - taki, w którym wszystko jest sprowadzone do absolutnego minimum.
W tej topologii otwarte są tylko dwa zbiory: zbiór pusty Ø oraz cały zbiór \( X \). Są to tak zwane podzbiory niewłaściwe zbioru \( X \).
Podstawowe pojęcia
Jeśli przypiszemy niepustemu zbiorowi \( X \) topologię trywialną \( T \), uzyskamy strukturę topologiczną o wyjątkowo prostej budowie.
$$ (X, T) $$
W tym przypadku zbiór otwarty może być tylko jeden z dwóch: Ø lub \( X \).
$$ T = \{ \emptyset , X \} $$
Choć wygląda to banalnie, właśnie taki wybór spełnia podstawowe aksjomaty topologii, które definiują, czym jest topologia.
Aby \( T \) była topologią na \( X \), muszą być spełnione trzy warunki:
- Zbiór pusty Ø i cały zbiór \( X \) należą do \( T \).
- Suma dowolnej liczby zbiorów otwartych z \( T \) również należy do \( T \).
- Część wspólna dowolnych dwóch zbiorów otwartych z \( T \) także należy do \( T \).
W przypadku topologii trywialnej \( T = \{ \emptyset, X \} \) wszystkie te warunki są automatycznie spełnione.
Dowód. Z definicji zarówno zbiór pusty, jak i cały zbiór \( X \) należą do \( T \).
Zbiór pusty jest otwarty w każdej topologii, a \( X \) jest otwarty z konstrukcji.
Ponieważ \( T \) zawiera tylko te dwa zbiory, każda ich suma lub część wspólna prowadzi z powrotem do jednego z nich. W ten sposób wszystkie aksjomaty topologii są spełnione.
Wniosek: warunki topologiczne są zachowane.
Dlaczego nazywamy ją topologią minimalną?
Topologia trywialna jest również określana jako minimalna, ponieważ stanowi najbardziej podstawową strukturę topologiczną, jaką można zdefiniować na zbiorze \( X \).
Topologia jest minimalna, jeśli usunięcie któregokolwiek z jej elementów powoduje, że przestaje spełniać definicję topologii.
Każda topologia musi zawierać przynajmniej zbiór pusty Ø oraz cały zbiór \( X \). W przypadku topologii trywialnej to właśnie jedyne dwa elementy.
Usunięcie któregokolwiek z nich sprawiłoby, że nie mielibyśmy już do czynienia z topologią. Dlatego topologia trywialna jest najprostsza z możliwych.
Wniosek: topologia trywialna \( T = \{ \emptyset, X \} \) to najprostszy i najbardziej ograniczony model struktury topologicznej, jaki można przypisać zbiorowi \( X \).
Uwaga. Choć topologia trywialna jest niezwykle prosta i elegancka, ma niewielkie zastosowanie praktyczne. Nie dostarcza informacji o wewnętrznej strukturze zbioru \( X \), dlatego nie jest użyteczna w analizie konkretnych przypadków. Ma jednak duże znaczenie teoretyczne - stanowi punkt odniesienia, czyli przypadek graniczny o minimalnej złożoności wśród wszystkich topologii. Jej przeciwieństwem jest topologia dyskretna, w której każdy podzbiór \( X \) jest zbiorem otwartym.
W kolejnych przykładach zobaczymy, jak od tej najprostszej konstrukcji można przejść do bardziej złożonych topologii.
