Różnica między topologią silniejszą a słabszą

W topologii często porównujemy różne sposoby określania, które podzbiory danego zbioru są otwarte. Aby to zrobić, wprowadzamy pojęcia topologii silniejszej i słabszej. Obie odnoszą się do tego samego zbioru \( X \), lecz różnią się liczbą zbiorów uznanych za otwarte.

• Topologia silniejsza
  Mówimy, że topologia \( \tau \) na zbiorze \( X \) jest silniejsza od innej, jeśli zawiera więcej zbiorów otwartych. Im więcej otwartych zbiorów, tym więcej szczegółów o strukturze przestrzeni możemy uchwycić.
• Topologia słabsza
  Topologia jest słabsza, jeśli zawiera mniej zbiorów otwartych. Opisuje przestrzeń w sposób bardziej ogólny, z mniejszą liczbą warunków do spełnienia.

Przykład poglądowy

Rozważmy prosty zbiór \( X = \{a, b\} \) i dwie topologie zdefiniowane na nim:

• \( \tau_1 = \{\varnothing, \{a, b\}\} \) - to topologia trywialna, w której otwarte są jedynie zbiór pusty i cały zbiór \( X \).
• \( \tau_2 = \{\varnothing, \{a\}, \{a, b\}\} \) - ta topologia zawiera dodatkowy zbiór otwarty \( \{a\} \).

Widzimy więc, że \( \tau_2 \) jest silniejsza od \( \tau_1 \), ponieważ posiada więcej zbiorów otwartych. Odwrotnie, \( \tau_1 \) jest słabsza od \( \tau_2 \).

Topologia a ciągłość funkcji

Jeśli funkcja jest ciągła względem topologii słabszej, to będzie także ciągła względem każdej topologii silniejszej. Odwrotność tego twierdzenia nie zawsze zachodzi.

Aby sprawdzić, czy funkcja jest ciągła, badamy, czy przeciwobraz każdego zbioru otwartego w przestrzeni wartości jest otwarty w dziedzinie funkcji.

W topologii silniejszej występuje więcej zbiorów otwartych, więc trzeba sprawdzić więcej przypadków. W topologii słabszej tych przypadków jest mniej, dlatego warunek ciągłości łatwiej spełnić.

W praktyce oznacza to, że każda funkcja ciągła względem topologii słabszej pozostaje ciągła również względem topologii silniejszej. Jednak funkcja ciągła w topologii silniejszej nie musi być ciągła w topologii słabszej.

Przykład 1

Rozważmy ponownie zbiór \( X = \{a, b\} \) z tymi samymi topologiami:

1. Topologia słabsza: \( \tau_1 = \{\varnothing, \{a, b\}\} \)
2. Topologia silniejsza: \( \tau_2 = \{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}\} \)

Niech funkcja \( f: X \to Y \) będzie określona tak:

$$ f(a)=1, \quad f(b)=1 $$

Funkcja \( f \) jest stała, ponieważ przypisuje tę samą wartość obu elementom zbioru \( X \).

Sprawdźmy jej ciągłość w topologii silniejszej \( \tau_2 \):

• Przeciwobraz \( f^{-1}(\{1\}) = \{a, b\} \) jest otwarty w \( \tau_2 \).
• Przeciwobraz zbioru pustego \( f^{-1}(\varnothing) = \varnothing \) jest również otwarty.

Zatem \( f \) jest ciągła w topologii silniejszej \( \tau_2 \).

W topologii słabszej \( \tau_1 \) mamy te same przeciwobrazy, a ponieważ oba są otwarte, \( f \) pozostaje ciągła także w \( \tau_1 \).

Przykład 2

Weźmy teraz inną funkcję \( g : X \to Y \):

$$ g(a) = 1, \quad g(b) = 2 $$

Sprawdźmy jej ciągłość w topologii silniejszej \( \tau_2 \):

• Przeciwobraz \( g^{-1}(\varnothing) = \varnothing \) - otwarty w \( \tau_2 \).
• Przeciwobraz \( g^{-1}(\{1,2\}) = \{a, b\} \) - otwarty w \( \tau_2 \).
• Przeciwobraz \( g^{-1}(\{1\}) = \{a\} \) - otwarty w \( \tau_2 \).
• Przeciwobraz \( g^{-1}(\{2\}) = \{b\} \) - otwarty w \( \tau_2 \).

Wszystkie przeciwobrazy zbiorów otwartych w \( Y \) są otwarte w \( X \), więc \( g \) jest ciągła w topologii silniejszej \( \tau_2 \).

Przejdźmy teraz do topologii słabszej \( \tau_1 \):

• Przeciwobraz \( g^{-1}(\varnothing) = \varnothing \) - otwarty.
• Przeciwobraz \( g^{-1}(\{1,2\}) = \{a, b\} \) - również otwarty.
• Natomiast \( g^{-1}(\{1\}) = \{a\} \) nie jest otwarty w \( \tau_1 \), ponieważ ta topologia zawiera tylko \( \varnothing \) i \( \{a, b\} \) jako zbiory otwarte.

Z tego wynika, że \( g \) nie jest ciągła w topologii słabszej \( \tau_1 \).

Wnioski

Topologia silniejsza daje dokładniejszy opis przestrzeni, ale stawia ostrzejsze wymagania przy badaniu ciągłości. Topologia słabsza jest bardziej ogólna i „łagodniejsza" pod względem warunków ciągłości. Zrozumienie tej relacji jest kluczowe, ponieważ pozwala przewidzieć, jak zmiana topologii wpływa na własności funkcji i strukturę przestrzeni.