Charakteryzacja zbiorów domkniętych
Zbiór \( A \) nazywamy domkniętym wtedy i tylko wtedy, gdy jego domknięcie w rozważanej przestrzeni topologicznej jest dokładnie tym samym zbiorem. Formalnie zapisujemy to jako: $$ A = \text{Cl}(A) $$
Przykład konkretny
Rozważmy klasyczny przykład z analizy matematycznej. Niech \( \mathbb{R} \) oznacza zbiór liczb rzeczywistych wyposażony w topologię naturalną (standardową), a niech \( A = [0, 1] \) będzie domkniętym przedziałem.
Intuicyjnie zbiory domknięte można rozpoznać po tym, że zawierają wszystkie swoje punkty skupienia. Dla przedziału \( [0, 1] \) oznacza to, że każdy punkt, do którego można zbliżać się punktami z tego przedziału, sam również do niego należy. Dotyczy to w szczególności punktów brzegowych 0 oraz 1.
Ponieważ nie istnieją punkty skupienia leżące poza zbiorem \( A \), możemy już na poziomie intuicji uznać, że zbiór ten jest domknięty.
Sprawdźmy jednak tę własność formalnie, obliczając domknięcie zbioru \( A \).
W topologii naturalnej na \( \mathbb{R} \) przedział \( [0, 1] \) zawiera wszystkie swoje punkty skupienia. Oznacza to, że operacja domknięcia nie dodaje żadnych nowych elementów:
$$ \text{Cl}(A) = [0, 1] $$
Stąd natychmiast otrzymujemy:
$$ A = \text{Cl}(A) $$
Przykład ten jasno pokazuje, że \( A = [0, 1] \) jest zbiorem domkniętym właśnie dlatego, że jest równy swojemu domknięciu.
Jednocześnie ilustruje on ogólną zasadę topologii: zbiory domknięte to dokładnie te zbiory, które pokrywają się ze swoim domknięciem.
Dowód
Aby uzasadnić powyższą charakteryzację, przypomnijmy kilka podstawowych pojęć z topologii.
- Domknięcie zbioru: Domknięcie zbioru \( A \), oznaczane przez \( \text{Cl}(A) \), to zbiór wszystkich punktów należących do \( A \) oraz wszystkich punktów, które są punktami przyległymi do \( A \). Formalnie: \[ \text{Cl}(A) = A \cup \{x \in X \mid \text{każde otoczenie punktu } x \text{ zawiera co najmniej jeden punkt zbioru } A \} \]
- Zbiór domknięty: Zbiór \( A \) nazywamy domkniętym, jeżeli zawiera wszystkie swoje punkty skupienia. W skrócie zapisujemy to następująco: \( A \) jest domknięty \( \iff A = \text{Cl}(A) \).
Pokażemy teraz tę równoważność w obu kierunkach.
1] Jeżeli \( A \) jest domknięty, to \( A = \text{Cl}(A) \)
Załóżmy, że zbiór \( A \) jest domknięty. Z definicji wynika, że wszystkie jego punkty skupienia należą do \( A \).
Domknięcie zbioru \( A \) składa się z punktów zbioru \( A \) oraz ze wszystkich jego punktów skupienia. Ponieważ te punkty już zawierają się w \( A \), otrzymujemy:
$$ \text{Cl}(A) = A \cup \{ \text{punkty skupienia zbioru } A \} = A $$
A zatem:
$$ A = \text{Cl}(A) $$
2] Jeżeli \( A = \text{Cl}(A) \), to \( A \) jest domknięty
Przyjmijmy teraz, że \( A = \text{Cl}(A) \). Z definicji domknięcia wiadomo, że zawiera ono wszystkie punkty skupienia zbioru \( A \).
Jeżeli domknięcie nie różni się od samego zbioru \( A \), oznacza to, że wszystkie punkty skupienia należą do \( A \). Jest to dokładnie warunek bycia zbiorem domkniętym.
W konsekwencji otrzymujemy wniosek, że zbiór \( A \) jest zbiorem domkniętym.
