Domknięcie dopełnienia i dopełnienie wnętrza zbioru

Domknięcie dopełnienia zbioru \( A \) jest równe dopełnieniu wnętrza zbioru \( A \): $$ \text{Cl}(X - A) = X - \text{Int}(A) $$

Powyższa równość stanowi jedno z podstawowych i najbardziej intuicyjnych powiązań w topologii ogólnej. Pokazuje ona, w jaki sposób operacje domknięcia i wnętrza są ze sobą ściśle związane poprzez przejście do zbioru dopełniającego.

Przykład

Dla lepszego zrozumienia tej własności rozważmy klasyczny przykład w znanej przestrzeni topologicznej.

Niech \( X = \mathbb{R} \) będzie zbiorem liczb rzeczywistych z topologią standardową, w której zbiorami otwartymi są dowolne sumy przedziałów otwartych.

Weźmy podzbiór \( A \subseteq \mathbb{R} \) w postaci przedziału domkniętego \( A = [1,2] \).

Sprawdzimy teraz krok po kroku, że w tym przypadku rzeczywiście zachodzi równość \( \text{Cl}(X - A) = X - \text{Int}(A) \).

1] Domknięcie dopełnienia zbioru \( A \)

Dopełnieniem zbioru \( A \) w \( \mathbb{R} \) jest zbiór:

$$ X - A = \mathbb{R} - [1,2] = (-\infty, 1) \cup (2, \infty) $$

Jest to suma dwóch zbiorów otwartych. Aby wyznaczyć jego domknięcie, należy uwzględnić także punkty przyległe.

Punkty \( 1 \) i \( 2 \) są punktami przyległymi tego zbioru, ponieważ każde ich otoczenie zawiera punkty odpowiednio z przedziałów \( (-\infty,1) \) oraz \( (2, \infty) \).

Otrzymujemy zatem:

$$ \text{Cl}(X - A) = \text{Cl}((-\infty, 1) \cup (2, \infty)) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$

2] Dopełnienie wnętrza zbioru \( A \)

Wnętrze zbioru \( A = [1,2] \) jest największym zbiorem otwartym zawartym w \( A \), czyli:

$$ \text{Int}(A) = (1,2) $$

Dopełnienie tego wnętrza w przestrzeni \( \mathbb{R} \) ma postać:

$$ X - \text{Int}(A) = \mathbb{R} - (1,2) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$

3] Wniosek

W obu obliczeniach otrzymaliśmy dokładnie ten sam zbiór:

$$ \text{Cl}(X - A) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$

$$ X - \text{Int}(A) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$

Przykład ten jednoznacznie potwierdza prawdziwość zależności:

$$ \text{Cl}(X - A) = X - \text{Int}(A) $$

Dowód

Niech \( A \subseteq X \) będzie dowolnym podzbiorem przestrzeni topologicznej \( X \).

Domknięcie dopełnienia zbioru \( A \) obejmuje wszystkie punkty należące do zbioru \( X - A \) oraz wszystkie jego punkty przyległe:

$$ \text{Cl}(X - A) $$

Z kolei dopełnienie wnętrza zbioru \( A \) składa się ze wszystkich punktów, które nie są punktami wnętrza zbioru \( A \):

$$ X - \text{Int}(A) $$

Aby wykazać równość \(\text{Cl}(X - A) = X - \text{Int}(A)\), wystarczy udowodnić dwie inkluzje.

1. \( \text{Cl}(X - A) \subseteq X - \text{Int}(A) \)
   Jeżeli punkt \( x \) należy do \( \text{Cl}(X - A) \), to każde jego otoczenie zawiera punkt zbioru \( X - A \). Oznacza to, że \( x \) nie może być punktem wnętrza zbioru \( A \). W konsekwencji \( x \notin \text{Int}(A) \), a więc \( x \in X - \text{Int}(A) \).
2. \( X - \text{Int}(A) \subseteq \text{Cl}(X - A) \)
   Jeżeli punkt \( x \) nie należy do wnętrza zbioru \( A \), to każde jego otoczenie zawiera punkt spoza \( A \), czyli punkt zbioru \( X - A \). Stąd \( x \in \text{Cl}(X - A) \).

Po wykazaniu obu inkluzji otrzymujemy:

$$ \text{Cl}(X - A) = X - \text{Int}(A) $$

Własność ta w przejrzysty sposób ukazuje głęboką i systematyczną zależność pomiędzy pojęciami domknięcia i wnętrza, stanowiąc jedno z klasycznych narzędzi pracy w topologii ogólnej.

Dowód został zakończony.