Domknięcie podzbioru zbioru domkniętego

W przestrzeni topologicznej $ X $, jeżeli zbiór $ C $ jest domknięty, a podzbiór $ A $ spełnia warunek $ A \subseteq C $, to domknięcie zbioru $ A $, oznaczane przez $ \text{Cl}(A) $, również zawiera się w $ C $ : $$ A \subseteq C \ , \ C \text{ domknięty } \ \Rightarrow \ \operatorname{Cl}(A) \subseteq C $$

Jest to jedna z podstawowych własności domknięcia w topologii. Wynika ona wprost z definicji: domknięcie zbioru $ A $ jest najmniejszym zbiorem domkniętym, który zawiera $ A $. Skoro więc $ C $ jest zbiorem domkniętym i już obejmuje $ A $, to automatycznie musi obejmować również jego domknięcie $ \text{Cl}(A) $.

Mówiąc intuicyjnie, domknięcie zbioru $ A $ nie może „wyjść” poza zbiór domknięty, w którym $ A $ się znajduje.

Przykład
Dowód

Przykład

Rozważmy przestrzeń topologiczną $ X = \mathbb{R} $, czyli prostą rzeczywistą z topologią naturalną.

W tej topologii zbiorami otwartymi są wszystkie przedziały otwarte.

Niech $ C = [0,2] $ będzie zbiorem domkniętym w $ \mathbb{R} $ :

$$ C = [0,2] $$

Weźmy teraz podzbiór zbioru $ C $, na przykład przedział otwarty $ A = (0,1) $ :

$$ A = (0,1) $$

Wyznaczmy domknięcie zbioru $ A $ :

Domknięcie zbioru $ A $, oznaczane przez $ \operatorname{Cl}(A) $, jest najmniejszym zbiorem domkniętym w $ \mathbb{R} $, który zawiera wszystkie punkty należące do $ A $.

W tym przypadku domknięciem przedziału $ (0,1) $ jest przedział domknięty $ [0,1] $. Zawiera on wszystkie punkty zbioru $ A $ oraz jego punkty skupienia, czyli 0 i 1.

$$ \text{Cl}(A) = [0,1] $$

Wiemy, że :

$$ A = (0,1) \subseteq C = [0,2] $$

Z rozważanej własności wynika zatem, że również domknięcie zbioru $ A $ musi zawierać się w $ C $ :

$$ \text{Cl}(A) \subseteq C $$

Rzeczywiście, ponieważ $ \text{Cl}(A) = [0,1] $, w oczywisty sposób zachodzi :

$$ [0,1] \subseteq [0,2] = C $$

Ostatecznie otrzymujemy $ A \subseteq C $ oraz $ \operatorname{Cl}(A) \subseteq C $.

Przykład ten jasno pokazuje, że jeżeli zbiór $ A $ jest zawarty w zbiorze domkniętym $ C $, to jego domknięcie również pozostaje w całości wewnątrz tego zbioru.

Dowód

Niech $ A \subseteq C \subseteq X $, gdzie $ C $ jest zbiorem domkniętym w przestrzeni topologicznej $ X $.

Z definicji zbioru domkniętego wynika, że jego dopełnienie $ X \setminus C $ jest zbiorem otwartym.

Domknięcie zbioru $ A $, oznaczane przez $ \operatorname{Cl}(A) $, jest najmniejszym zbiorem domkniętym zawierającym $ A $. Można je opisać jako część wspólną wszystkich zbiorów domkniętych w $ X $, które zawierają $ A $.

Ponieważ zbiór $ C $ jest domknięty i zawiera $ A $, należy on do tej rodziny zbiorów.

W konsekwencji domknięcie $ \operatorname{Cl}(A) $, jako część wspólna takich zbiorów, musi zawierać się w $ C $ :

$$ \operatorname{Cl}(A) \subseteq C $$

Oznacza to, że jeśli zbiór $ A $ leży w zbiorze domkniętym $ C $, to również jego domknięcie w całości do niego należy.

Dowód został zakończony.