Monotoniczność operatora domknięcia
Własność monotoniczności operatora domknięcia mówi, że jeżeli \( A \subseteq B \), to domknięcie zbioru \( A \) jest zawarte w domknięciu zbioru \( B \): \[ A \subseteq B \implies \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \]
Choć własność ta na pierwszy rzut oka wydaje się oczywista, warto poświęcić jej chwilę uwagi. Zrozumienie, dlaczego jest prawdziwa, znacząco wzmacnia intuicję topologiczną i pomaga lepiej uchwycić sens pojęcia domknięcia.
Intuicję tę można oprzeć na prostym obrazie. Wyobraźmy sobie małe pudełko umieszczone w większym. Gdy zamkniemy większe pudełko, mniejsze automatycznie znajdzie się w jego wnętrzu. Operator domknięcia działa dokładnie według tej samej zasady: zachowuje relację zawierania.
Przykład ilustrujący
Rozważmy klasyczny i dobrze znany kontekst: prostą rzeczywistą \( \mathbb{R} \) z topologią standardową.
W tej topologii zbiorami otwartymi są przedziały otwarte.
Weźmy dwa następujące zbiory:
\[ A = (0, 1) \]
\[ B = [0, 2] \]
Zawieranie jest natychmiast widoczne, ponieważ każdy punkt zbioru \( A \) należy również do zbioru \( B \):
\[ A \subseteq B \]
Domknięcie zbioru \( A \)
Zbiór \( A \) jest przedziałem otwartym \( (0, 1) \). Aby wyznaczyć jego domknięcie, należy dołączyć wszystkie punkty, które można przybliżać dowolnie blisko punktami należącymi do \( A \).
W tym przypadku są to punkty \( 0 \) oraz \( 1 \), ponieważ każde ich otoczenie ma niepustą część wspólną z przedziałem \( (0, 1) \).
Otrzymujemy zatem:
\[ \text{Cl}(A) = [0, 1] \]
Domknięcie zbioru \( B \)
Zbiór \( B \) jest przedziałem domkniętym \([0, 2]\). Zawiera on już wszystkie swoje punkty przyległe.
Ponieważ jest zbiorem domkniętym, jego domknięcie nie zmienia się:
\[ \text{Cl}(B) = [0, 2] \]
Wniosek
Zestawiając oba wyniki, od razu widzimy, że:
\[ \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \]
Przykład ten w prosty sposób pokazuje, że operator domknięcia zachowuje relację zawierania zbiorów.
Dowód formalny
Rozpoczynamy od założenia:
\[ A \subseteq B \]
Z definicji punkt \( x \) należy do \( \text{Cl}(A) \) wtedy i tylko wtedy, gdy każde otoczenie punktu \( x \) zawiera co najmniej jeden punkt zbioru \( A \).
Jeżeli jednak \( A \subseteq B \), to każde otoczenie, które ma część wspólną z \( A \), ma ją również z \( B \). W konsekwencji punkt \( x \) należy do \( \text{Cl}(B) \).
Stąd bezpośrednio wynika:
\[ \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \]
Ten sam wniosek można uzyskać, korzystając z innej charakteryzacji domknięcia, mianowicie jako przekroju wszystkich zbiorów domkniętych zawierających dany zbiór.
Jeżeli \( A \subseteq B \), to każdy zbiór domknięty zawierający \( B \) zawiera również \( A \). Ich część wspólna, czyli \( \text{Cl}(B) \), musi zatem zawierać także \( \text{Cl}(A) \).
W ten sposób ponownie dochodzimy do tej samej konkluzji:
\[ \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \]
Własność monotoniczności wynika bezpośrednio z definicji operatora domknięcia i stanowi czytelny przykład uporządkowanego, strukturalnego zachowania jednego z podstawowych pojęć topologii.
