Otwarte podzbiory a wnętrze zbioru

Jeżeli $ U $ jest zbiorem otwartym w przestrzeni topologicznej $ X $ oraz zachodzi $ U \subseteq A $, to zbiór $ U $ jest podzbiorem wnętrza zbioru $ A $ : $$ U \subseteq \text{Int}(A) $$

Wnętrze zbioru $ A $, oznaczane symbolem $\text{Int}(A)$, to największy zbiór otwarty, który w całości zawiera się w $ A $.

Oznacza to, że każdy zbiór otwarty $ U $, będący podzbiorem $ A $, automatycznie należy do $\text{Int}(A)$. Wnętrze zbioru można bowiem rozumieć jako „sumę" wszystkich zbiorów otwartych zawartych w $ A $.

$$ \text{Int}(A) = \bigcup \{ O \subseteq A \mid O \text{ jest zbiorem otwartym w } X \} $$

Zbiór $ U $ spełnia warunki tej definicji, dlatego należy do rodziny zbiorów otwartych, których suma tworzy wnętrze zbioru $ A $.

Przykład konkretny
Dowód

Przykład konkretny

Rozważmy dwa zbiory $ U $ oraz $ A $ w przestrzeni topologicznej $ \mathbb{R} $, wyposażonej w topologię standardową. W tej topologii zbiorami otwartymi są przedziały otwarte oraz ich dowolne sumy.

$$ U = (1, 2) $$

$$ A = [0, 3] $$

Zbiór $ U = (1, 2) $ jest zbiorem otwartym, ponieważ jest przedziałem otwartym w przestrzeni $ \mathbb{R} $, a więc należy do topologii standardowej.

Dodatkowo zachodzi inkluzja $ U \subseteq A $, gdyż każdy punkt należący do przedziału $ (1, 2) $ należy również do przedziału $ [0, 3] $.

Wnętrze zbioru $ A = [0, 3] $, oznaczane przez $\text{Int}(A)$, jest największym zbiorem otwartym zawartym w $ A $. W tym przypadku jest nim przedział $(0, 3)$.

$$ \text{Int}(A) = (0,3) $$

Widzimy więc bezpośrednio, że $ U = (1, 2) $ zawiera się w $(0, 3)$, czyli spełniona jest relacja:

$$ U \subseteq \text{Int}(A) $$

Przykład ten jasno ilustruje ogólną własność: każdy zbiór otwarty zawarty w $ A $ jest automatycznie zawarty we wnętrzu tego zbioru.

Dowód

Niech $ X $ będzie przestrzenią topologiczną, $ A \subseteq X $ oraz $ U $ zbiorem otwartym w $ X $ takim, że $ U \subseteq A $.

Zakładamy, że:

$ U $ jest zbiorem otwartym w przestrzeni $ X $ ;
$ U \subseteq A $.

Z definicji wnętrza zbioru wynika, że $\text{Int}(A)$ jest sumą wszystkich zbiorów otwartych zawartych w $ A $.

Ponieważ zbiór $ U $ spełnia oba powyższe warunki, należy on do tej rodziny zbiorów otwartych, których suma tworzy $\text{Int}(A)$.

Stąd wprost wynika, że $ U \subseteq \text{Int}(A) $.

Innymi słowy, każdy zbiór otwarty zawarty w zbiorze $ A $ jest również podzbiorem jego wnętrza.

Własność ta została w ten sposób wykazana.