Przecięcie wnętrz zbiorów

Przecięcie wnętrz dwóch zbiorów $ A $ i $ B $ jest równe wnętrzu ich przecięcia: $$ \text{Int}(A) \cap \text{Int}(B) = \text{Int}(A \cap B) $$

Oznacza to, że jeśli najpierw wyznaczymy wnętrza zbiorów $ A $ i $ B $, a następnie je przetniemy, otrzymamy dokładnie ten sam zbiór, co w przypadku wyznaczenia wnętrza ich części wspólnej.

W ujęciu intuicyjnym sprawa jest prosta: punkt należy do wnętrza $ A \cap B $ wtedy i tylko wtedy, gdy jednocześnie leży we wnętrzu $ A $ oraz we wnętrzu $ B $.

Zanim przejdziemy dalej, przypomnijmy dwie kluczowe definicje.

Wnętrze zbioru ($\text{Int}(A)$) to zbiór wszystkich punktów należących do $ A $, dla których istnieje otoczenie otwarte w całości zawarte w $ A $. Są to więc punkty leżące ściśle wewnątrz zbioru, bez punktów brzegowych.
Przecięcie ($\cap$) to zbiór elementów wspólnych dla zbiorów $ A $ i $ B $, czyli takich, które należą do obu zbiorów jednocześnie.

Z tych definicji bezpośrednio wynika omawiana własność: przecięcie wnętrz prowadzi dokładnie do wnętrza przecięcia.

Przykład geometryczny
Dowód

Przykład geometryczny

Wyobraźmy sobie dwa dyski $ A $ i $ B $, które częściowo się pokrywają.

Wnętrze każdego z nich stanowi cała powierzchnia dysku, z pominięciem jego brzegu.

przecięcie wnętrz dwóch zachodzących na siebie zbiorów geometrycznych

Jeśli teraz przetniemy te dwa obszary wewnętrzne, otrzymamy dokładnie wnętrze wspólnego obszaru, w którym dyski $ A $ i $ B $ na siebie zachodzą.

Dowód

Równość wykażemy w standardowy sposób, dowodząc obu zawierań.

1] Pierwsze zawieranie ($\subseteq$)

Niech $ x \in \text{Int}(A) \cap \text{Int}(B) $. Z definicji wnętrza wynika, że istnieją zbiory otwarte $ U \subseteq A $ oraz $ V \subseteq B $, które zawierają punkt $ x $.

Ich przecięcie $ W = U \cap V $ jest zbiorem otwartym zawierającym punkt $ x $ i jednocześnie spełnia warunek $ W \subseteq A \cap B $.

Otrzymujemy więc $ x \in \text{Int}(A \cap B) $, co dowodzi pierwszego zawierania.

Niech $ x \in \text{Int}(A) \cap \text{Int}(B) $. Istnieją zbiory otwarte $ U $ i $ V $ takie, że $ x \in U \subseteq A $ oraz $ x \in V \subseteq B $.

Wówczas $ W = U \cap V $ jest zbiorem otwartym zawierającym punkt $ x $ i spełnia $ W \subseteq A \cap B $.

Zatem $ x \in \text{Int}(A \cap B) $.

Wynika stąd: $ \text{Int}(A) \cap \text{Int}(B) \subseteq \text{Int}(A \cap B) $.

2] Drugie zawieranie ($\supseteq$)

Załóżmy teraz, że $ x \in \text{Int}(A \cap B) $. Istnieje wówczas zbiór otwarty $ W $, taki że $ x \in W \subseteq A \cap B $.

Z faktu, że $ W \subseteq A \cap B $, wynika natychmiast, iż $ W \subseteq A $ oraz $ W \subseteq B $. Oznacza to, że punkt $ x $ należy jednocześnie do wnętrza $ A $ i do wnętrza $ B $.

Niech $ x \in \text{Int}(A \cap B) $. Istnieje zbiór otwarty $ W $ taki, że $ x \in W \subseteq A \cap B $.

Wówczas $ W \subseteq A $ oraz $ W \subseteq B $, a więc $ x \in \text{Int}(A) \cap \text{Int}(B) $.

Stąd otrzymujemy: $ \text{Int}(A \cap B) \subseteq \text{Int}(A) \cap \text{Int}(B) $.

Ponieważ wykazaliśmy oba zawierania, możemy sformułować ostateczny wniosek:

\[ \text{Int}(A) \cap \text{Int}(B) = \text{Int}(A \cap B) \]

To kończy dowód tej własności.