Zasada dualności wnętrza i domknięcia zbioru
W topologii zasada dualności wnętrza i domknięcia zbioru opisuje ścisłą zależność między dwoma podstawowymi operacjami topologicznymi. Mówi ona, że wnętrze dopełnienia zbioru \( A \) jest dokładnie dopełnieniem jego domknięcia. Zależność tę zapisujemy symbolicznie w postaci: $$ \text{Int}(X - A) = X - \text{Cl}(A) $$
Przykład ilustracyjny
Aby lepiej zrozumieć sens tej własności, rozważmy prosty i intuicyjny przykład. Weźmy przestrzeń topologiczną \(\mathbb{R}\), czyli zbiór liczb rzeczywistych z topologią standardową, w której zbiorami otwartymi są przedziały otwarte.
Niech \( A = [0,1] \) będzie przedziałem domkniętym.
$$ A = [0,1] $$
Dopełnienie zbioru \( A \) w przestrzeni \(\mathbb{R}\) ma postać:
$$ \mathbb{R} - A = (-\infty, 0) \cup (1, \infty) $$
Wnętrze zbioru \( \mathbb{R} - A \), oznaczane jako \( \text{Int}(\mathbb{R} - A) \), składa się ze wszystkich punktów, które posiadają pewne otoczenie w całości zawarte w tym zbiorze.
Ponieważ zbiór \( (-\infty, 0) \cup (1, \infty) \) jest już zbiorem otwartym, jego wnętrze nie ulega zmianie:
$$ \text{Int}(\mathbb{R} - A) = (-\infty, 0) \cup (1, \infty) $$
Z drugiej strony rozważmy domknięcie zbioru \( A \). Domknięcie, oznaczane przez \( \text{Cl}(A) \), jest najmniejszym zbiorem domkniętym zawierającym \( A \), czyli obejmuje sam zbiór \( A \) oraz wszystkie jego punkty skupienia.
W tym przypadku zbiór \( A \) jest już domknięty, dlatego:
$$ \text{Cl}(A) = [0,1] $$
Dopełnienie domknięcia zbioru \( A \) w \(\mathbb{R}\) wynosi:
$$ \mathbb{R} - \text{Cl}(A) = (-\infty, 0) \cup (1, \infty) $$
Porównując oba otrzymane zbiory:
- \(\text{Int}(\mathbb{R} - A) = (-\infty, 0) \cup (1, \infty)\)
- \(\mathbb{R} - \text{Cl}(A) = (-\infty, 0) \cup (1, \infty)\)
łatwo zauważyć, że są one identyczne. W ten sposób przykład potwierdza obowiązywanie zależności:
$$ \text{Int}(\mathbb{R} - A) = \mathbb{R} - \text{Cl}(A) $$
Pokazuje to w praktyce, jak działa zasada dualności wnętrza i domknięcia.
Dowód
Niech \( A \) będzie dowolnym podzbiorem przestrzeni topologicznej \( X \). Pokażemy, że zachodzi równość:
$$ \text{Int}(X - A) = X - \text{Cl}(A) $$
W tym celu przypomnijmy kluczowe definicje:
- Wnętrze zbioru \( B \), oznaczane przez \( \text{Int}(B) \), to zbiór wszystkich punktów \( B \), które posiadają pewne otoczenie w całości zawarte w \( B \).
- Domknięcie zbioru \( A \), oznaczane przez \( \text{Cl}(A) \), jest najmniejszym zbiorem domkniętym zawierającym \( A \), czyli zbiorem \( A \) wraz ze wszystkimi jego punktami skupienia.
Dowód przeprowadzimy, wykazując dwie inkluzje.
1] Dowód inkluzji \(\text{Int}(X - A) \subseteq X - \text{Cl}(A)\)
Niech \( x \in \text{Int}(X - A) \). Z definicji wnętrza wynika, że istnieje otoczenie \( U \) punktu \( x \) takie, że \( U \subseteq X - A \).
Oznacza to, że \( U \cap A = \emptyset \), czyli żaden punkt zbioru \( A \) nie należy do \( U \).
Gdyby \( x \) był punktem skupienia zbioru \( A \), każde jego otoczenie zawierałoby punkt należący do \( A \), co prowadziłoby do sprzeczności z warunkiem \( U \cap A = \emptyset \).
Wynika stąd, że \( x \notin \text{Cl}(A) \), a więc \( x \in X - \text{Cl}(A) \).
Otrzymujemy w ten sposób:
$$ \text{Int}(X - A) \subseteq X - \text{Cl}(A) $$
2] Dowód inkluzji \(X - \text{Cl}(A) \subseteq \text{Int}(X - A)\)
Niech \( x \in X - \text{Cl}(A) \). Oznacza to, że punkt \( x \) nie należy ani do zbioru \( A \), ani do jego domknięcia, czyli nie jest ani elementem \( A \), ani jego punktem skupienia.
Istnieje zatem otoczenie \( U \) punktu \( x \), dla którego zachodzi \( U \cap A = \emptyset \).
Stąd wynika, że \( U \subseteq X - A \), a więc \( x \) należy do wnętrza zbioru \( X - A \).
W konsekwencji otrzymujemy:
$$ X - \text{Cl}(A) \subseteq \text{Int}(X - A) $$
3] Wniosek
Ponieważ wykazaliśmy obie inkluzje:
$$ \text{Int}(X - A) \subseteq X - \text{Cl}(A) $$
$$ X - \text{Cl}(A) \subseteq \text{Int}(X - A) $$
możemy sformułować ostateczny wniosek:
$$ \text{Int}(X - A) = X - \text{Cl}(A) $$
Co kończy dowód.
