Zawieranie wnętrz w topologii

Jeżeli zbiór $ A $ jest zawarty w zbiorze $ B $, to jego wnętrze również zawiera się we wnętrzu zbioru $ B $: $$ A \subseteq B \Rightarrow \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$

Własność ta jest jedną z podstawowych cech operatora wnętrza i wynika bezpośrednio z definicji zbioru otwartego. Intuicyjnie rzecz ujmując, jeśli cały zbiór $ A $ mieści się w $ B $, to wszystko, co znajduje się „w środku" $ A $, musi również należeć do wnętrza zbioru $ B $.

Można to ująć krótko: operator wnętrza zachowuje relację zawierania pomiędzy zbiorami.

Przykład ilustracyjny
Dowód

Przykład ilustracyjny

Rozważmy dwa zbiory liczb rzeczywistych $ A $ i $ B $, rozpatrywane w przestrzeni $ \mathbb{R} $ z topologią standardową.

$$ A = [1, 3] $$

$$ B = [0, 4] $$

Nietrudno zauważyć, że:

$$ A \subseteq B $$

W topologii standardowej wnętrze zbioru definiuje się jako sumę wszystkich zbiorów otwartych, które są w nim zawarte.

Wnętrze zbioru A
Zbiór $ A = [1, 3] $ zawiera przedział otwarty $ (1, 3) $, dlatego: \[
\text{Int}(A) = (1, 3)
\]
Wnętrze zbioru B
Analogicznie, zbiór $ B = [0, 4] $ zawiera przedział otwarty $ (0, 4) $, stąd: \[
\text{Int}(B) = (0, 4)
\]

Widzimy więc wyraźnie, że $ \text{Int}(A) = (1, 3) $ jest podzbiorem $ \text{Int}(B) = (0, 4) $.

$$ \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$

Ten prosty przykład dobrze ilustruje, że relacja zawierania zbiorów przenosi się także na ich wnętrza w przestrzeni $ \mathbb{R} $ z topologią standardową.

Dowód

Niech $ A $ oraz $ B $ będą podzbiorami przestrzeni topologicznej $ X $, przy czym zachodzi $ A \subseteq B $.

Naszym celem jest wykazanie, że zachodzi również zależność $ \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $.

Z definicji wnętrze zbioru $ A $, oznaczane przez $ \text{Int}(A) $, jest sumą wszystkich zbiorów otwartych zawartych w $ A $.

Innymi słowy, jest to największy zbiór otwarty, który mieści się w $ A $.

Ponieważ $ A \subseteq B $, każdy zbiór otwarty zawarty w $ A $ jest automatycznie zawarty także w $ B $.

Oznacza to, że $ \text{Int}(A) $ jest zbiorem otwartym zawartym w $ B $.

Z definicji $ \text{Int}(B) $ wynika natomiast, że jest to największy zbiór otwarty zawarty w $ B $. W konsekwencji otrzymujemy:

$$ \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$

Dowodzi to, że operacja wyznaczania wnętrza zachowuje relację zawierania pomiędzy podzbiorami przestrzeni topologicznej.

Dowód został zakończony.