Cardinalitatea unei mulțimi

Cardinalitatea unei mulțimi $ X $ indică numărul de elemente pe care le conține și se notează prin $ |X| $.

Această idee depășește simpla numărare a elementelor, mai ales atunci când discutăm despre mulțimi infinite.

Cardinalitatea mulțimilor finite
Pentru o mulțime finită, cardinalitatea nu este altceva decât numărul de elemente care o alcătuiesc.
De pildă, să ne imaginăm o bibliotecă cu o colecție de cărți. Dacă avem cinci volume, cardinalitatea acestei mulțimi este cinci, ceea ce se notează $ |A| = 5 $, unde $ A $ reprezintă mulțimea cărților.
Cardinalitatea mulțimilor infinite
În cazul mulțimilor infinite, noțiunea de „mărime” capătă un caracter mai abstract.
Să considerăm, de exemplu, mulțimea numerelor naturale $ \mathbb{N} = \{ 0,1,2,3,... \} $ și mulțimea numerelor întregi $ \mathbb{Z} = \{ ... -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... \} $. Ambele sunt infinite, dar au o cardinalitate „numărabilă”, întrucât elementele lor pot fi ordonate într-o succesiune infinită. Totuși, numerele naturale formează un subansamblu al numerelor întregi $ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} $. Un exemplu și mai spectaculos îl constituie mulțimea numerelor reale $ \mathbb{R} $, care include toate punctele unei drepte continue. Cardinalitatea acesteia este „nenumărabilă”, deoarece între oricare două numere reale se găsesc infinit de multe valori intermediare. Prin urmare, și numerele întregi sunt un subansamblu al celor reale $ \mathbb{Z} \subset \mathbb{R} $, ceea ce arată că mulțimea numerelor reale are o cardinalitate incomparabil mai mare decât $ \mathbb{N} $ sau $ \mathbb{Z} $.

Pe scurt, cardinalitatea nu reprezintă doar o simplă măsură a dimensiunii unei mulțimi, ci scoate la iveală existența unor tipuri diferite de infinit, punând în lumină o complexitate care, la prima vedere, poate trece neobservată.

Observații

Câteva remarci și precizări suplimentare:

Cardinalitatea mulțimilor finite
Dacă $ A $ și $ B $ sunt mulțimi finite și $ A $ este subansamblu al lui $ B $, atunci numărul de elemente din $ A $ nu poate depăși numărul elementelor din $ B $. Formal, aceasta se exprimă prin relația $ |A| \le |B| $. Cu alte cuvinte, dacă $ A $ este conținută în $ B $, cardinalitatea sa este obligatoriu mai mică sau egală. $$ A \subseteq B \Leftrightarrow |A| \le |B| $$
Exemplu: Să luăm în considerare mulțimile: $$ A = \{ 1, 2, 3 \} $$ $$ B = \{ 1, 2, 3, 4 \} $$ Toate elementele lui $ A $ se regăsesc în $ B $, deci avem $ A \subseteq B $. Mulțimea $ A $ conține trei elemente, așadar $ |A|=3 $. În schimb, $ B $ conține patru elemente, deci $ |B|=4 $. Prin urmare, cardinalitatea lui $ A $ este mai mică sau egală cu cea a lui $ B $: $$ |A| \le |B| $$
Cardinalitatea mulțimilor egale
Dacă două mulțimi $ A $ și $ B $ sunt identice ($ A=B $), atunci ele au în mod necesar același număr de elemente, adică aceeași cardinalitate: $$ A = B \Rightarrow |A| = |B| $$
Exemplu: Considerăm mulțimile $ A $ și $ B $: $$ A = \{1, 2, 3\} $$ $$ B = \{3, 1, 2\} $$ Chiar dacă ordinea elementelor este diferită, cele două mulțimi conțin exact aceleași valori, deci sunt egale: $ A = B $. Cardinalitatea lui $ A $ este 3, pentru că are trei elemente distincte (1, 2 și 3). În mod analog, cardinalitatea lui $ B $ este tot 3. Prin urmare, mulțimile $ A $ și $ B $ au aceeași cardinalitate: $$ |A| = |B| = 3 $$

Și așa mai departe.