Mulțimi nemărginite

Ce este o mulțime nemărginită?

Spunem că o mulțime \( A \) este nemărginită atunci când extremele ei se prelungesc la infinit în ambele direcții: $$ \inf(A) = -\infty $$ $$ \sup(A) = +\infty $$

• O mulțime este nemărginită inferior dacă nu are o limită inferioară și se întinde până la minus infinit (-∞).
• O mulțime este nemărginită superior dacă limita ei superioară este plus infinit (+∞).
• O mulțime este nemărginită în sens absolut atunci când atât limita inferioară, cât și cea superioară sunt infinite.

Exemple practice

Exemplul 1

Mulțimea numerelor reale, ℝ, nu are limite finite.

$$ \inf(\mathbb{R}) = -\infty $$

$$ \sup(\mathbb{R}) = +\infty $$

Fiindcă se extinde indefinit în ambele direcții, ℝ este o mulțime nemărginită.

Exemplul 2

Mulțimea numerelor naturale, ℕ, nu are limită superioară.

$$ \inf(\mathbb{N}) = 0 $$

$$ \sup(\mathbb{N}) = +\infty $$

Aici, limita inferioară este finită (0), în timp ce limita superioară este infinită (+∞).

Exemplul 3

Mulțimea numerelor reale negative, ℝ^-, nu are limită inferioară.

$$ \inf(\mathbb{R}^-) = -\infty $$

$$ \sup(\mathbb{R}^-) = 0 $$

În acest caz, limita inferioară este infinită (-∞), iar limita superioară este finită (0).

Și alte exemple pot fi construite în mod similar.