Mulțimi identice

Două mulțimi A și B sunt mulțimi identice (sau egale) dacă îndeplinesc condiția de incluziune reciprocă: $$ A \subseteq B \wedge B \subseteq A $$. În acest caz, scriem: $$ A = B $$

Cu alte cuvinte, A este identică cu B atunci când A îl conține pe B, iar B îl conține pe A.

Ambele mulțimi sunt submulțimi improprii una a celeilalte.

Demonstrație

Din prima incluziune rezultă că toate elementele lui A se regăsesc în B:

$$ A \subseteq B $$

Astfel, nu există niciun element în A care să lipsească din B.

Din a doua incluziune, toate elementele lui B se găsesc în A:

$$ B \subseteq A $$

Prin urmare, nu există elemente în B care să nu aparțină lui A.

Dacă niciun element din A nu lipsește din B și niciun element din B nu lipsește din A, rezultă că cele două mulțimi sunt identice:

$$ A = B \Leftrightarrow A \subseteq B \wedge B \subseteq A $$

O formulare echivalentă: două mulțimi sunt egale dacă și numai dacă fiecare element al lui A aparține lui B și invers: $$ A = B \Leftrightarrow ( x \in A \Leftrightarrow x \in B ) $$

Exemplu

Considerăm două mulțimi:

$$ A = \{ 0, 1, 2, 3, 4 \} $$

$$ B = \{ x \in \mathbb{N} \ | \ 2x + 1 < 10 \} $$

Mulțimea B este formată din toate numerele naturale care satisfac condiția \(2x + 1 < 10\):

$$ 2x + 1 < 10 $$

$$ x < \frac{9}{2} $$

Prin urmare, B conține numerele 0, 1, 2, 3 și 4.

$$ A = \{ 0, 1, 2, 3, 4 \} $$

$$ B = \{ 0, 1, 2, 3, 4 \} $$

Se verifică ambele condiții de incluziune:

$$ A \subseteq B $$

$$ B \subseteq A $$

Prin urmare, A și B sunt mulțimi identice:

$$ A = B $$

Observații

• Mulțimile egale au aceeași cardinalitate.
  Dacă \( A = B \), atunci conțin exact aceleași elemente și, implicit, același număr de elemente, adică aceeași cardinalitate: $$ |A| = |B| $$. Deși pare evident, este o proprietate esențială de reținut.

Și așa mai departe.