Mulțime conexă
O mulțime deschisă \( A \) se numește conexă dacă nu poate fi exprimată ca reuniunea a două submulțimi deschise, disjuncte și nevidente. Cu alte cuvinte, nu există mulțimi \( A_1 \) și \( A_2 \) care să îndeplinească simultan următoarele condiții:
- \( A_1 \cap A_2 = \emptyset \) (sunt disjuncte)
- \( A_1 \neq \emptyset \) și \( A_2 \neq \emptyset \) (ambele sunt nevidente)
- \( A_1 \cup A_2 = A \) (reuniunea lor este egală cu \( A \))
Dacă astfel de mulțimi \( A_1 \) și \( A_2 \) ar exista, aceasta ar însemna că \( A \) poate fi « separată » în două părți distincte, ceea ce ar contrazice caracterul său conex.
Exemplu ilustrativ
Exemplul 1: o mulțime conexă
Un exemplu clasic de mulțime conexă este intervalul deschis \( A = (0,1) \) pe axa numerelor reale.
Acest interval nu poate fi împărțit în două submulțimi deschise, disjuncte și nevidente, a căror reuniune să fie exact \( (0,1) \).
Să presupunem că încercăm să divizăm \( (0,1) \) în două intervale deschise disjuncte, de forma \( (0,a) \) și \( (b,1) \), unde \( 0 < a < b < 1 \). Reuniunea lor nu acoperă întreg intervalul \( (0,1) \), deoarece segmentul \( (a,b) \) rămâne în afara sa. Cum condiția \( A_1 \cup A_2 = A \) nu este îndeplinită, o asemenea descompunere este imposibilă - fapt ce confirmă că mulțimea este conexă.
Exemplul 2: o mulțime neconexă
Să considerăm acum mulțimea \( A = (0,0.4) \cup (0.6,1) \), formată din două intervale deschise, disjuncte între ele.
Această mulțime nu este conexă, deoarece poate fi scrisă ca reuniunea mulțimilor \( (0,0.4) \) și \( (0.6,1) \), care sunt ambele deschise, disjuncte și nevidente, iar reuniunea lor reface exact \( A \).
Deoarece \( (0,0.4) \) și \( (0.6,1) \) sunt mulțimi deschise, disjuncte și nevidente, iar reuniunea lor coincide cu \( A \), rezultă că \( A \) nu este conexă.
Definiție alternativă a unei mulțimi conexe
O altă formulare echivalentă este următoarea: o mulțime \( A \) este conexă dacă, ori de câte ori poate fi scrisă ca reuniunea a două mulțimi deschise disjuncte, atunci una dintre ele trebuie neapărat să fie vidă.
- \( A_1 \cap A_2 = \emptyset \) (sunt disjuncte)
- \( A_1 \cup A_2 = A \) (reuniunea lor este egală cu \( A \))
În acest caz, este necesar ca \( A_1 = \emptyset \) sau \( A_2 = \emptyset \).
Altfel spus, dacă o mulțime \( A \) poate fi exprimată ca reuniunea a două mulțimi deschise disjuncte, una dintre ele trebuie în mod obligatoriu să fie vidă. În caz contrar, \( A \) ar fi alcătuită din două regiuni separate, ceea ce ar contrazice definiția unei mulțimi conexe.
