Maximul

Ce înseamnă valoarea maximă?

Maximul M al unei mulțimi A este un element al lui A care este mai mare sau cel puțin egal cu toate celelalte elemente ale mulțimii: $$ \begin{cases} M \in A \\ \\ M \geq a \quad \forall \ a \in A \end{cases} $$ De regulă, valoarea maximă se notează astfel: $$ M = \max(A) $$

Un element poate fi considerat maximul unei mulțimi doar dacă face parte din acea mulțime.

Dacă nu aparține mulțimii, vorbim despre o margine superioară sau despre suprem (cea mai mică dintre marginile superioare).

O mulțime poate să nu aibă maxim? Da. Nu orice mulțime are un maxim. De pildă, mulțimea numerelor reale ℝ nu are valoare maximă, întrucât domeniul său este (-∞,+∞). Simbolul +∞ nu reprezintă un număr și, prin urmare, nu poate fi considerat un maxim.

Un exemplu practic

Să presupunem că mulțimea A este alcătuită din următoarele 7 elemente:

$$ A = \{ -1, 0, 4, 2, 6, 1, 3 \} $$

În acest caz, maximul lui A este 6, fiind cel mai mare dintre toate elementele:

$$ \max(A) = 6 $$

$$ 6 \geq -1 \\ 6 \geq 0 \\ 6 \geq 4 \\ 6 \geq 2 \\ 6 \geq 6 \\ 6 \geq 1 \\ 6 \geq 3 $$

Unicitatea maximului

Dacă o mulțime are un maxim, acesta este întotdeauna unic.

Cu alte cuvinte, nu pot exista două sau mai multe maxime într-o singură mulțime.

Totuși, există mulțimi care nu admit niciun maxim.

Notă: O mulțime nu poate conține elemente repetate. Prin urmare, dacă există un maxim, el este în mod necesar unic.

Demonstrație

Să presupunem, prin reducere la absurd, că o mulțime admite două valori maxime distincte:

$$ M_1 \geq a \quad \forall a \in A $$

$$ M_2 \geq a \quad \forall a \in A $$

Fiind maxime, ambele trebuie să aparțină mulțimii A:

$$ M_1, M_2 \in A $$

Conform definiției, fiecare dintre ele este mai mare sau egal cu toate elementele mulțimii, inclusiv cu celălalt:

$$ M_1 \geq M_2 $$

$$ M_2 \geq M_1 $$

Rezultă imediat că:

$$ ( M_1 \geq M_2 ) \land ( M_2 \geq M_1 ) \Rightarrow M_1 = M_2 $$

Așadar, cele două „valori maxime” coincid, ceea ce demonstrează că maximul unei mulțimi, dacă există, este unic.

Astfel, afirmația a fost dovedită.