Minimul

Ce este valoarea minimă?

Minimul \(m\) al unei mulțimi \(A\) este un element al lui \(A\) care este mai mic sau egal cu toate celelalte elemente ale mulțimii: $$ \begin{cases} m \in A \\ \\ m \le a \quad \forall \ a \in A \end{cases} $$ În mod obișnuit, valoarea minimă se notează astfel: $$ m = \min(A) $$

Un element poate fi minimul unei mulțimi numai dacă aparține acesteia.

Dacă nu aparține mulțimii, se numește margine inferioară sau infim (cea mai mare dintre marginile inferioare).

O mulțime poate să nu aibă minim? Da. Nu toate mulțimile admit un minim. De exemplu, mulțimea numerelor reale pozitive \( \mathbb{R}^+ \) nu are minim, deoarece domeniul său este \( (0,+\infty) \). Numărul 0 nu aparține lui \( \mathbb{R}^+ \), iar între 0 și orice număr real \(r\) există întotdeauna un alt număr real \(r'\) aflat în intervalul \( (0,r) \).

Un exemplu practic

Să considerăm mulțimea:

$$ A = \{ 1, 2, 4, -2, 6, -1, 3 \} $$

În acest caz, minimul lui \(A\) este -2:

$$ \min(A) = -2 $$

Aceasta deoarece -2 este mai mic sau egal decât fiecare element al mulțimii:

$$ -2 \le 1 \\ -2 \le 2 \\ -2 \le 4 \\ -2 \le -2 \\ -2 \le 6 \\ -2 \le -1 \\ -2 \le 3 $$

Unicitatea minimului

Dacă o mulțime are un minim, acesta este unic.

Altfel spus, într-o mulțime nu pot exista două sau mai multe valori minime.

Totuși, este posibil ca o mulțime să nu aibă deloc un minim.

Notă: O mulțime nu poate conține elemente repetate. Prin urmare, dacă există un minim, acesta este în mod necesar unic.

Demonstrație

Să presupunem, prin reducere la absurd, că o mulțime are două valori minime distincte:

$$ m_1 \le a \quad \forall a \in A $$

$$ m_2 \le a \quad \forall a \in A $$

Întrucât sunt minime, ambele trebuie să aparțină mulțimii \(A\):

$$ m_1, m_2 \in A $$

Prin definiție, fiecare dintre ele este mai mic sau egal decât toate elementele mulțimii, inclusiv decât celălalt:

$$ m_1 \le m_2 $$

$$ m_2 \le m_1 $$

Din aceste două inegalități rezultă imediat că:

$$ ( m_1 \le m_2 ) \land ( m_2 \le m_1 ) \Leftrightarrow m_1 = m_2 $$

Prin urmare, cele două „minime” coincid, ceea ce confirmă că minimul unei mulțimi, dacă există, este unic.

Astfel, afirmația este demonstrată.