Multimultimi

O multimulțime este o extensie a conceptului clasic de mulțime, în care repetiția elementelor este permisă.

Multimultimile sunt deosebit de utile în situațiile în care frecvența fiecărui element reprezintă o informație relevantă și nu poate fi ignorată.

Spre deosebire de o mulțime obișnuită, unde fiecare element apare cel mult o singură dată, o multimulțime poate conține mai multe apariții ale aceluiași element.

Notă : Multimultimile ocupă un rol important în domenii precum combinatorica sau teoria grupurilor, unde este frecvent necesar să se lucreze cu structuri care includ repetiții.

Formal, o multimulțime se definește ca un cuplu $ M = (A, m) $, unde:

Notă : Dacă $ m(x) = 1 $ pentru orice $ x \in A $, atunci $ M $ coincide cu o mulțime obișnuită, iar noțiunea de multiplicitate devine redundantă.

$ A $ este mulțimea de suport, adică ansamblul elementelor distincte prezente în multimulțime.
$ m : A \rightarrow \mathbb{N} $ reprezintă funcția de multiplicitate, care asociază fiecărui element al lui $ A $ un număr natural ce indică de câte ori apare acel element în $ M $. Această funcție conferă multimulțimii structura sa caracteristică.

Cardinalitatea unei multimulțimi se definește ca suma multiplicităților elementelor sale; ea exprimă numărul total de elemente, incluzând și repetițiile.

O multimulțime poate fi reprezentată și sub forma unui ansamblu de perechi:

$$ M = \{ (x, m(x)) \mid x \in A \} $$

În această reprezentare, $ x $ este un element al suportului, iar $ m(x) $ indică numărul de apariții ale acestuia în multimulțime.

Exemplu concret

Să analizăm multimulțimea : \{a, a, b, b, b, c\}.

Formal, ea se poate scrie sub forma $ M = (A, m) $, unde:

$ A = \{a, b, c\} $ este mulțimea de suport.
Funcția de multiplicitate este: $ m(a) = 2 $, $ m(b) = 3 $, $ m(c) = 1 $.

Cardinalitatea lui $ M $ este deci:

$$ |M| = m(a) + m(b) + m(c) = 6 $$

Prin urmare, multimulțimea conține în total șase elemente, luând în considerare și repetițiile.

O putem nota și sub forma perechilor:

$$ M = \{ (a,2), (b,3), (c,1) \} $$

Exemplul 2

Să luăm numărul 360. Descompunerea sa în factori primi este:

$$ 360 = 2^3 \times 3^2 \times 5 $$

Îl putem interpreta ca o multimulțime a factorilor primi:

$$ A = \{(2, 3), (3, 2), (5, 1)\} $$

Fiecare pereche exprimă multiplicitatea unui factor în descompunere, oferind un exemplu concret al aplicării multimultimilor în aritmetică.

Exemplul 3

Să considerăm următorul polinom:

$$ x^4 - 7x^3 + 18x^2 - 20x + 8 $$

Acest polinom are două rădăcini de multiplicitate trei și o rădăcină simplă.

Forma sa factorizată este:

$$ (x - 2)^3 \cdot (x - 1) $$

Mulțimea rădăcinilor se poate reprezenta sub formă de multimulțime:

$$ M = \{(2, 3), (1, 1)\} $$

Fiecare pereche indică multiplicitatea asociată fiecărei rădăcini, demonstrând utilitatea multimultimilor în descrierea structurilor algebrice care implică repetiții.

Și astfel mai departe.