Mulțimea Universală
În teoria mulțimilor, mulțimea universală este acea mulțime care cuprinde toate celelalte mulțimi. Este cunoscută și sub denumirea de mulțimea univers. $$ U = \{ A, B, C, ... \} $$
Paradoxul Bărbierului
Totuși, conceptul de mulțime universală poate duce la anumite contradicții logice.
Pentru a ilustra acest aspect, să luăm în considerare celebrul paradox al bărbierului, formulat de Bertrand Russell în secolul al XIX-lea.
- Într-un sat, bărbierul îi bărbierește pe toți cei care nu se bărbiereasc singuri.
Cine îl bărbierește pe bărbier? - Dacă bărbierul se bărbierește singur, atunci nu ar trebui să o facă.
- Dacă bărbierul nu se bărbierește singur, atunci ar trebui să o facă.
În mod analog, ne putem întreba dacă mulțimea universală U este sau nu element al ei însăși.
Prin definiție, mulțimea universală conține toate mulțimile.
- Dacă U ∈ U, atunci U ar trebui să fie diferită de ea însăși.
- Dacă U ∉ U, atunci, prin definiție, ar trebui să aparțină lui U.
Notă. În cazul mulțimii universale, folosim relația de apartenență ∈ (și nu pe cea de submulțime ⊆), deoarece elementele lui U sunt alte mulțimi. Prin urmare, este corect să scriem A∈U.
Să analizăm acum un alt exemplu, care evidențiază și mai clar natura problemei.
Definim mulțimea S ca fiind mulțimea tuturor mulțimilor care nu se conțin pe ele însele.
- Dacă S ∈ S, atunci nu ar trebui să se conțină pe ea însăși.
- Dacă S ∉ S, atunci ar trebui să se conțină pe ea însăși.
Și în acest caz ajungem la o contradicție logică.
Cum pot fi evitate aceste paradoxuri?
O modalitate este să definim mulțimea universală U într-un sens restrâns, adică drept mulțimea care include doar acele mulțimi cu care lucrăm într-un anumit context.
Astfel, universul de referință este limitat la mulțimile relevante pentru discuția respectivă,
iar celelalte sunt excluse din analiză.
