Diferența dintre Apartenență și Incluziune în Teoria Mulțimilor

În teoria mulțimilor, este esențial să distingem clar între apartenență și incluziune. Deși cele două concepte sunt înrudite, ele au sensuri diferite și sunt adesea confundate.

• Apartenență
  Apartenența este reprezentată prin simbolul ∈ și exprimă relația dintre un element individual și o mulțime. Dacă un element x aparține mulțimii S, scriem x ∈ S, ceea ce înseamnă că x se numără printre elementele care formează mulțimea S.

  De exemplu, dacă S este mulțimea {1, 2, 3}, afirmația 2 ∈ S este adevărată, deoarece numărul 2 este un element al lui S. Cu alte cuvinte, 2 face parte din mulțimea S.

• Incluziune
  Incluziunea se notează cu simbolurile ⊂ și ⊆ și descrie relația dintre două mulțimi. A spune că o mulțime A este inclusă în mulțimea B (A ⊂ B) înseamnă că toate elementele lui A se regăsesc și în B. În schimb, notația A ⊆ B indică faptul că A poate fi o submulțime a lui B sau poate coincide în întregime cu aceasta.

  De exemplu, dacă S este mulțimea {1, 2, 3}, afirmația {2} ⊂ S este corectă, deoarece mulțimea {2} este cuprinsă în S, chiar dacă nu este egală cu întreaga mulțime. Prin urmare, {2} este o submulțime a lui S. Dacă dorim să includem și cazul în care cele două mulțimi sunt identice, vom scrie {1, 2, 3} ⊆ S, ceea ce este de asemenea corect.

Pe scurt, apartenența arată dacă un element face parte dintr-o mulțime, iar incluziunea indică dacă o mulțime este cuprinsă în alta.

Altfel spus, simbolul ∈ stabilește legătura dintre un element și o mulțime (apartenență), în timp ce simbolurile ⊂ și ⊆ exprimă relația dintre două mulțimi (incluziune).

De exemplu, expresiile 3 ∈ S și {3} ⊂ S sunt corecte, în timp ce 3 ⊂ S și {3} ∈ S sunt greșite.

Și așa mai departe.