Este mulțimea vidă o submulțime proprie sau improprie?

Încadrarea mulțimii vide (\(\emptyset\)) ca submulțime proprie sau improprie a unei alte mulțimi depinde în mod direct de definiția adoptată pentru termenul „submulțime proprie”.

În literatura de specialitate există două abordări principale:

• Mulțimea vidă ca submulțime proprie
  Potrivit unei definiții, o submulțime \(B\) a unei mulțimi \(A\) este considerată proprie dacă include o parte, dar nu toate elementele lui \(A\). În această interpretare, mulțimea vidă este o submulțime proprie a oricărei mulțimi ne-vide, întrucât este conținută în orice mulțime (\(B \subseteq A\)) și, în același timp, este diferită de orice mulțime care conține cel puțin un element (\(A \neq B\)). În schimb, nu este o submulțime proprie a ei însăși, deoarece coincide cu ea însăși (\(\emptyset = \emptyset\)).
• Mulțimea vidă ca submulțime improprie
  Conform unei alte convenții, mulțimea vidă este tratată ca submulțime improprie a oricărei mulțimi, inclusiv a ei însăși. Această perspectivă pornește de la ideea că o „submulțime proprie” trebuie să conțină cel puțin un element al mulțimii de referință. Întrucât mulțimea vidă nu conține niciun element, ea nu satisface această cerință.

În practică, majoritatea matematicienilor consideră că mulțimea vidă este o submulțime proprie a oricărei mulțimi ne-vide, dar o submulțime improprie a ei însăși.

Divergențele din lucrările de specialitate apar, în general, din diferențele de formulare a definiției termenului „submulțime proprie”.

Notă: Deși distincția dintre submulțimile proprii și cele improprii poate părea subtilă, ea joacă un rol important în discuțiile avansate de teorie a mulțimilor și în alte ramuri ale matematicii.

Și lista exemplelor poate continua.