Cardinalidad de un Conjunto

La cardinalidad de un conjunto $ X $ expresa cuántos elementos lo conforman y se denota como $ |X| $.

Este concepto va más allá de un simple conteo, especialmente cuando hablamos de conjuntos infinitos.

Cardinalidad de Conjuntos Finitos
En el caso de un conjunto finito, su cardinalidad no es más que el número de elementos que lo componen.
Por ejemplo, pensemos en una biblioteca con una colección de libros. Si hay cinco libros, la cardinalidad de ese conjunto es cinco, lo que se representa como $ |A| = 5 $, donde $ A $ es el conjunto de libros.
Cardinalidad de Conjuntos Infinitos
Cuando se trata de conjuntos infinitos, el concepto de tamaño adquiere una dimensión más abstracta.
Por ejemplo, consideremos el conjunto de los números naturales $ \mathbb{N} = \{ 0,1,2,3,... \} $ y el de los números enteros $ \mathbb{Z} = \{ ... -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... \} $. Ambos son infinitos, pero tienen una cardinalidad "numerable", ya que es posible disponer sus elementos en una secuencia infinita. Sin embargo, los números naturales forman un subconjunto de los enteros $ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} $. Un caso aún más fascinante es el de los números reales $ \mathbb{R} $, que incluyen todos los puntos de una recta continua. Su cardinalidad es "no numerable", porque entre cualquier par de números reales hay infinitos valores intermedios. Así, los números enteros también son un subconjunto de los reales $ \mathbb{Z} \subset \mathbb{R} $, lo que implica que la cantidad de números reales es infinitamente mayor que la de $ \mathbb{N} $ o $ \mathbb{Z} $.

En resumen, la cardinalidad no es solo una medida del tamaño de un conjunto, sino que revela la existencia de distintos tipos de infinito, mostrando una complejidad que a simple vista puede pasar desapercibida.

Observaciones

Algunas notas y consideraciones adicionales

Cardinalidad de Conjuntos Finitos
Si $ A $ y $ B $ son conjuntos finitos y $ A $ es un subconjunto de $ B $, entonces el número de elementos de $ A $ no puede ser mayor que el de $ B $. Esto se expresa como $ |A| \le |B| $. En otras palabras, si $ A $ está contenido en $ B $, necesariamente tiene una cardinalidad menor o igual. $$ A \subseteq B \Leftrightarrow |A| \le |B| $$
Ejemplo: Consideremos los siguientes conjuntos: $$ A = \{ 1, 2, 3 \} $$ $$ B = \{ 1, 2, 3, 4 \} $$ Como todos los elementos de $ A $ están en $ B $, se cumple que $ A \subseteq B $. El conjunto $ A $ tiene tres elementos, por lo que su cardinalidad es $ |A|=3 $. En cambio, $ B $ contiene cuatro elementos, es decir, $ |B|=4 $. Por lo tanto, la cardinalidad de $ A $ es menor o igual que la de $ B $: $$ |A| \le |B| $$
Cardinalidad de Conjuntos Iguales
Si dos conjuntos $ A $ y $ B $ son idénticos ($ A=B $), necesariamente tienen la misma cantidad de elementos, es decir, la misma cardinalidad: $$ A = B \Rightarrow |A| = |B| $$
Ejemplo: Consideremos los conjuntos $ A $ y $ B $: $$ A = \{1, 2, 3\} $$ $$ B = \{3, 1, 2\} $$ Aunque los elementos aparecen en diferente orden, ambos conjuntos contienen exactamente los mismos valores, por lo que son iguales: $ A = B $. La cardinalidad de $ A $ es 3, ya que tiene tres elementos distintos (1, 2 y 3). De la misma manera, la cardinalidad de $ B $ también es 3. Por lo tanto, los conjuntos $ A $ y $ B $ tienen la misma cardinalidad: $$ |A| = |B| = 3 $$

Y así sucesivamente.